Due quesiti spazi vettoriali.

[StellaMartensitica]

1) Quali sono i sottospazi vettoriali di $RR$?
2) Si possono trovare $n-1$ vettori linearmente indipendenti in $RR^n$?
Potete aiutarmi a rispondere?

[cooper1]

Tue idee? Parti dalle definizioni

[StellaMartensitica]

Per quanto riguarda la prima, dato che cerco un sottoinsieme di $RR$ dove somma e prodotto per un numero siano operazioni interne (per le quali valgano le relative proprietà),la risposta è nessuno?

[anto_zoolander]

$1)$ se $UleqRR$ allora $0leqdimUleq1$ da questo...

$2)$ se $k$ vettori sono linearmente dipendenti allora $k+1$ vettori come sono?

[cooper1]

1. prova a pensare a qualche esempio in $RR^3$ per esempio ed applicare lo stesso ragionamento ad $RR$ e poi verifichi se lo è
2. al massimo quanti vettori l.i. ci possono essere in uno spazio n-dimensionale?

"anto_zoolander":se k vettori sono linearmente dipendenti allora k+1 vettori come sono?

non ho capito cosa intendi con questa, pardon

[anto_zoolander]

@cooper

volevo farlo arrivare a questo ragionamento:
Se $k$ vettori sono linearmente dipendenti allora $k+1$ vettori sono
Per contronominale
Se $k+1$ vettori sono linearmente indipendenti allora $k$ vettori lo sono

Prendi prende una base di $V$ e gli toglie un vettore

[Magma1]

@anto:

"anto_zoolander":
Se $k$ vettori sono linearmente dipendenti allora $k+1$ vettori sono
[...]

Sei un amante della suspense?

[anto_zoolander]

@magma

si cerco di infilarlo tacitamente nei miei post celandolo dietro errori grammaticali

[cooper1]

ah ok, ora mi è tutto chiaro!

[StellaMartensitica]

La risposta alla seconda domanda ho capito essere la seguente:
Per verificare che $n$ vettori $v_1 ; v_2; v_3; ...; v_n$ siano linearmente indipendenti:
$v_1$ non può essere il vettore nullo
$v_2$ non può essere multiplo di $v_1$
$v_3$ non può essere combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$
...
$v_n$ non può essere combinazione lineare di $v_1 ; v_2; v_3; ...; v_n$

Quindi se i vettori $v_1 ;...; v_n$ sono linearmente indipendenti (per esempio i versori fondamentali), e quindi soddisfano i criteri elencati sopra,
anche i vettori $v_1; ... v_(n-1)$ soddisferanno detti criteri e quindi saranno linearmente indipendenti. Ecco che la risposta è sì, cioè si può trovare $n-1$ vettori linearmente indipendenti.
È corretta?

Per quanto riguarda la prima domanda ho confusione in testa non ho ancora capito.

[Magma1]

"SirDanielFortesque":La risposta alla seconda domanda ho capito essere la seguente:
Per verificare che $n$ vettori $v_1 ; v_2; v_3; ...; v_n$ siano linearmente indipendenti:
$v_1$ non può essere il vettore nullo
$v_2$ non può essere multiplo di $v_1$
$v_3$ non può essere combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$
...
$v_n$ non può essere combinazione lineare di $v_1 ; v_2; v_3; ...; v_n$

Più semplicemente, $v_1,...,v_n$ sono l.i. se e solo se l'unica combinazione lineare nulla è quella banale:

$alpha_1v_1+...+alpha_nv_n=bar0 hArr alpha_1=alpha_2=…=alpha_n=0$

$hArr r( ( v_(11) , ... , v_(1n) ),( vdots , vdots , vdots ),( v_(n1) , ... , v_(n n) ) ) =n$

Pertantanto è immediato il fatto che $n-1$ siano sempre linearmente indipendenti.

[StellaMartensitica]

Quindi quali sono i sottospazi vettoriali di $RR$?

[cooper1]

io ho pensato a $V={x in RR | x=0}$
prova a verificare se sia sottospazio vettoriale

[StellaMartensitica]

Ammette la somma $0+0$
Ammette il prodotto $k*0=0$ $ \forall k in RR$
Quindi è un sottospazio.
È l'unico giusto?

[Magma1]

"SirDanielFortesque":
È l'unico giusto?

I sottospazi banali di $RR$ sono ${bar0}$ e $RR$.

[anto_zoolander]

Io non capisco perché ancora ti rimanga il dubbio.
Tutti i sottospazi propri di $RR$ devono avere dimensione $0$ dato che $RR= < 1 > $ ha dimensione $1$
È quindi chiaro che l’unico sottospazio proprio di $RR$ sia quello banale

[StellaMartensitica]

Va bene grazie.