Due applicazioni lineari con uguali immagini, hanno uguale nucleo?
Salve a tutti. Ho questo dubbio che mi sta facendo impazzire.
Come da titolo:
Se ho due applicazioni lineari f,g :R3->R3 con uguali immagini (Imf=Img), hanno lo stesso nucleo?
A me verrebbe da dire di no,ma come posso dimostrare la risposta?
Grazie! Illuminatemi
Come da titolo:
Se ho due applicazioni lineari f,g :R3->R3 con uguali immagini (Imf=Img), hanno lo stesso nucleo?
A me verrebbe da dire di no,ma come posso dimostrare la risposta?
Grazie! Illuminatemi
Risposte
Per dimostrare che non è vero si può trovare un controesempio.
Definiamo le applicazioni $f,g:RR^3->RR^3$ tali che per ogni $(x,y,z)inRR^3$:
$f(x,y,z)=(x,y,0)$ $g(x,y,z)=(y,z,0)$
Le due hanno stessa immagine: $Im(f)=Im(g)=<(1,0,0),(0,1,0)>$ (sottospazio generato dai due vettori tra parentesi)
Ma in nucleo di $f$ è $<(0,0,1)>$, mentre quello di $g$ è $<(1,0,0)>$
Definiamo le applicazioni $f,g:RR^3->RR^3$ tali che per ogni $(x,y,z)inRR^3$:
$f(x,y,z)=(x,y,0)$ $g(x,y,z)=(y,z,0)$
Le due hanno stessa immagine: $Im(f)=Im(g)=<(1,0,0),(0,1,0)>$ (sottospazio generato dai due vettori tra parentesi)
Ma in nucleo di $f$ è $<(0,0,1)>$, mentre quello di $g$ è $<(1,0,0)>$
Grazie mille fabricius! 
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