Dubbio superfici di rotazione
Problema, data una linea $L$ in $A^3$ trovare la superficie di rotazione attorno all'asse $z$
Io mi scrivo $L$ in forma parametrica, prendo in punto generico della linea di coordinate $(x(t), y(t), z(t))$ e dico che la superfici di rotazione è composta da tutte le circonferenze centrate sull'asse $z$ di poste alla quota $z(t)$ e di raggio $x(t)$
quindi viene $\{(z=z(t)),(x^2+y^2+z^2=(x(t))^2):}$
Di sicuro sbaglio a dire che il raggio è $x(t)$ ma non capisco perchè...
Io mi scrivo $L$ in forma parametrica, prendo in punto generico della linea di coordinate $(x(t), y(t), z(t))$ e dico che la superfici di rotazione è composta da tutte le circonferenze centrate sull'asse $z$ di poste alla quota $z(t)$ e di raggio $x(t)$
quindi viene $\{(z=z(t)),(x^2+y^2+z^2=(x(t))^2):}$
Di sicuro sbaglio a dire che il raggio è $x(t)$ ma non capisco perchè...
Risposte
Dato un punto $A(x_0,y_0,z_0)$ dello spazio la sua distanza dall'asse $z$ si ottiene calcolando la distanza di $A$ da $P$ dove $P$ è il punto di intersezione dell'asse $z$ con il piano passante per $A$ ortogonale all'asse $z$.
Il piano passante per $A$ e otogonale all'asse $z$ ha equazione $z=z_0$, quindi $P$ ha coordinate $P(0,0,z_0)$ e la distanza di $A$ da $P$ è [tex]\sqrt{(x_0)^2+(y_0)^2}[/tex].
La superficie di rotazione che cerchi è
${(z=z(t)),(x^2+y^2=x(t)^2+y(t)^2):}$
Il piano passante per $A$ e otogonale all'asse $z$ ha equazione $z=z_0$, quindi $P$ ha coordinate $P(0,0,z_0)$ e la distanza di $A$ da $P$ è [tex]\sqrt{(x_0)^2+(y_0)^2}[/tex].
La superficie di rotazione che cerchi è
${(z=z(t)),(x^2+y^2=x(t)^2+y(t)^2):}$
ok, e se volessi la superficie di rotazione attorno ad una retta qualsiasi?
Se il punto generico $P(u)$ della linea ha coordinate $(x(u),y(u),z(u))$ e se la retta ha equazione parametrica $t:{(x=x_0+av),(y=y_0+bv),(z=z_0+cv):}\ \ (v\in RR)$, il piano perpendicolare a $t$ e passante per $P(u)$ è $\pi_u:a(x-x(u))+b(y-y(u))+c(z-z(u))=0$.
Intersecando $t$ con $\pi_u$ si ottiene un punto $Q(u)$ di coordinate $(x_0(u),y_0(u),z_0(u))$.
Sia $r(u)$ la distanza di $P(u)$ da $Q(u)$.
La superficie di rotazione attorno a $t$ sarà parametrizzata da
${(a(x-x(u))+b(y-y(u))+c(z-z(u))=0),((x-x_0(u))^2+(y-y_0(u))^2+(z-z_0(u))^2=r(u)^2):}$
Intersecando $t$ con $\pi_u$ si ottiene un punto $Q(u)$ di coordinate $(x_0(u),y_0(u),z_0(u))$.
Sia $r(u)$ la distanza di $P(u)$ da $Q(u)$.
La superficie di rotazione attorno a $t$ sarà parametrizzata da
${(a(x-x(u))+b(y-y(u))+c(z-z(u))=0),((x-x_0(u))^2+(y-y_0(u))^2+(z-z_0(u))^2=r(u)^2):}$
Grazie.
Comunque -pensavo- si può anche prendere la sfera centrata nell'origine di raggio $sqrt(x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2)$ e la interseco con il piano passante per il punto generico della linea e perpendicolare all'asse di ronazione, no?
Comunque -pensavo- si può anche prendere la sfera centrata nell'origine di raggio $sqrt(x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2)$ e la interseco con il piano passante per il punto generico della linea e perpendicolare all'asse di ronazione, no?
"nato_pigro":
Grazie.
Comunque -pensavo- si può anche prendere la sfera centrata nell'origine di raggio $sqrt(x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2)$ e la interseco con il piano passante per il punto generico della linea e perpendicolare all'asse di ronazione, no?
Prego
Ho l'impressione che questa cosa qui funzioni solo se l'asse di rotazione contiene l'origine...
Per esempio se prendo la linea ${(x(t)=0),(y(t)=0),(z(t)=t):}$ (praticamente l'asse $z$) che ruota attorno alla retta $t:{(x=1),(y=0):}$ dovresti ottenere il cilindro $Gamma$ che ha come asse la retta $t$.
Ma non puoi ottenere mai il cilindro come intersezione di superfici sferiche di centro l'origine.
Con una idea simile alla tua si potrebbe fare così: si potrebbe prendere la superficie sferica centrata in un punto fissato $P_0$ di $t$ di raggio $d(P_0,P(t))$ (distanza fra $P_0$ e $P(t)(x(t),y(t),z(t))$) e la si potrebbe intersecare con il piano passante per $P(t)$ e perpendicolare all'asse di rotazione.
Vero...
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