Dubbio sull'estrazione di una base

[fenghuang]

Ciao a tutti, avrei un dubbio sullo svolgimento di un esercizio riguardante le basi di uno spazio vettoriale. Inoltre avrei una domanda: per sapere se dei vettori ${v_1, ... ,v_n}$ sono linearmente indipendenti, io in genere imposto il sistema associato all'equazione

$a_1v_1 + ... + a_nv_n = 0_v $

e vedo se l'unica soluzione è $a_1 = a_2 = ... = a_n$, ma a volte è un procedimento piuttosto lungo. Esistono modi più veloci di verificare la lineare indipendenza?

Per quanto riguarda l'esercizio mi viene chiesto di trovare tre basi di

$V= {(x,y,z) \in RR^3 : x - y + z = 0}$

ora, andando un po' a intuito, seppur $V$ sia un sottospazio di $RR^3$mi vien da pensare che posso guardare i suoi elementi come fossero nella forma

$v \in RR^3, v = ((x_1),(x_1+x_2),(x_2)) $

e quindi mi vien da dire che mi basteranno due vettori per generare $V$.
Prendo in esame i vettori

$v_1 = ((1),(1),(0))$ e $v_2 = ((0),(1),(1))$

entrambi in $V$ (noto già che entrambi sono indipendenti).
Mi basta vedere se i due vettori generano $V$. Ora, io farei così

Sia $v = ((x_1),(x_1 + x_2),(x_2)) \in V$ generico, e siano $α, β \in RR$. Se posso scrivere in maniera unica $v$ come combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$ allora ho dimostrato che questi ultimi generano $V$. Dunque

$v = ((x_1),(x_1 + x_2),(x_2)) = αv_1 + βv_2 = α((1),(1),(0)) + β((0),(1),(1))$

da cui, chiaramente

$\{(α= x_1),(α + β= x_1 + x_2),(β = x_2):}$

e dunque il mio sistema ha soluzione unica, di conseguenza anche la scrittura della combinazione lineare è unica(giusto?)
Concludo che $S={v_1,v_2}$ è una base di $V$. Per trovare le altre due basi mi basta cercare altre due coppie di vettori che generino e siano linearmente indipendenti, ripetendo tutto il processo già fatto.

Volevo sapere se ho svolto l'esercizio in modo corretto o se ci sono imprecisioni( a parte il fatto che non sono stato a dimostrare che i due vettori sono linearmente indipendenti).

Grazie mille a tutti per l'attenzione!

[garnak.olegovitc1]

@fenghuang,

"fenghuang":Ciao a tutti, avrei un dubbio sullo svolgimento di un esercizio riguardante le basi di uno spazio vettoriale. Inoltre avrei una domanda: per sapere se dei vettori ${v_1, ... ,v_n}$ sono linearmente indipendenti, io in genere imposto il sistema associato all'equazione

$a_1v_1 + ... + a_nv_n = 0_v $

e vedo se l'unica soluzione è $a_1 = a_2 = ... = a_n$, ma a volte è un procedimento piuttosto lungo. Esistono modi più veloci di verificare la lineare indipendenza?

Per quanto riguarda l'esercizio mi viene chiesto di trovare tre basi di

$V= {(x,y,z) \in RR^3 : x - y + z = 0}$

ora, andando un po' a intuito, seppur $V$ sia un sottospazio di $RR^3$mi vien da pensare che posso guardare i suoi elementi come fossero nella forma

$v \in RR^3, v = ((x_1),(x_1+x_2),(x_2)) $

e quindi mi vien da dire che mi basteranno due vettori per generare $V$.
Prendo in esame i vettori

$v_1 = ((1),(1),(0))$ e $v_2 = ((0),(1),(1))$

entrambi in $V$ (noto già che entrambi sono indipendenti).
Mi basta vedere se i due vettori generano $V$. Ora, io farei così

Sia $v = ((x_1),(x_1 + x_2),(x_2)) \in V$ generico, e siano $α, β \in RR$. Se posso scrivere in maniera unica $v$ come combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$ allora ho dimostrato che questi ultimi generano $V$. Dunque

$v = ((x_1),(x_1 + x_2),(x_2)) = αv_1 + βv_2 = α((1),(1),(0)) + β((0),(1),(1))$

da cui, chiaramente

$\{(α= x_1),(α + β= x_1 + x_2),(β = x_2):}$

e dunque il mio sistema ha soluzione unica, di conseguenza anche la scrittura della combinazione lineare è unica(giusto?)
Concludo che $S={v_1,v_2}$ è una base di $V$. Per trovare le altre due basi mi basta cercare altre due coppie di vettori che generino e siano linearmente indipendenti, ripetendo tutto il processo già fatto.

Volevo sapere se ho svolto l'esercizio in modo corretto o se ci sono imprecisioni( a parte il fatto che non sono stato a dimostrare che i due vettori sono linearmente indipendenti).

Grazie mille a tutti per l'attenzione!

"fenghuang":Ciao a tutti, avrei un dubbio sullo svolgimento di un esercizio riguardante le basi di uno spazio vettoriale. Inoltre avrei una domanda: per sapere se dei vettori ${v_1, ... ,v_n}$ sono linearmente indipendenti, io in genere imposto il sistema associato all'equazione

$a_1v_1 + ... + a_nv_n = 0_v $

e vedo se l'unica soluzione è $a_1 = a_2 = ... = a_n$, ma a volte è un procedimento piuttosto lungo.

mmm devi vedere se \(a_1 = a_2 = ... = a_n{\color{Black} =0}\) cioè vedere se il sistema ha come soluzione unica quella "banale"[nota]e non è tanto lungo come procedimento, puoi lavorare sul rango della matrice incompleta associata al sistema lineare omogeneo in questione [/nota]...

"fenghuang": ora, andando un po' a intuito, seppur $V$ sia un sottospazio di $RR^3$mi vien da pensare che posso guardare i suoi elementi come fossero nella forma

$v \in RR^3, v = ((x_1),(x_1+x_2),(x_2)) $

e quindi mi vien da dire che mi basteranno due vettori per generare $V$.

se conosci già la definizione di eq. cartesiane associate ad un sottospazio vettoriale allora saprai che queste sono, in questo caso, in numero \( \dim_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3)-\dim_\Bbb{R}(V)=1 \), ergo \(\dim_\Bbb{R}(V)=2 \)

per il resto potrei dire che non hai fatto male .. anche se \( V\) era già generato da \(2 \) vettori "quasi" per ipotesi , ovvero prendi un generico \( (x,y,z) \in V \) sappiamo che \( x-y+z=0 \).. ma allora $$x-y+z=0 \to x=y-z \to$$$$\to (x,y,z)=(y-z,y,z)=(y,y,0)-(z,0,-z)=y(1,1,0)-z(1,0,-1) \to$$$$ \to V=\mathscr{L}((1,1,0),(1,0,-1)) $$ che \(((1,1,0),(1,0,-1))\) è libero su \( \Bbb{R} \) è ovvio da un teorema sulla dimensione di sottospazi!!

Saluti

P.S.= volendo arrivare ai tuoi stessi generatori mi basta da $x-y+z=0$ prendere \( y=x+z \) , e se vuoi altri generatori puoi prendere \( z=y-x \).. così avrai le tue tre basi!