Dubbio sulle forme quadratiche

[fransis2]

ho un dubbio sulle forme quadratiche. Data una forma quadratica consideriamo la matrice associata. Supponiamo che tale matrice abbia tutti gli autovalori distinti. Allora tale matrice ha un' unica base a meno di riscalare tali vettori, giusto?
Consideriamo allora questo esempio: $f(x,y)=x^2-xy+y^2$. La sua matrice associata $A$ ha due utovalori distinti. Sia la trasformazione: $x=u-v,$ $y=u+v$ che la trasformazione $x=a+\frac{1}{2}b,$ $y=b$ mi diagonalizzano la forma quadratica. Infatti se sostituisco $f(x,y)=u^2+3v^2$ ma anche $f(x,y)=a^2+\frac{3}{4}b^2$. Ma questo non vuol dire che ho due trasformazioni diverse che mi diagonalizzano la matrice $A$ e quindi che ho 2 basi diverse della matrice $A$. Non riesco a venire a capo di questa cosa... se poteste spiegarmela vi sarei grato!

[fransis2]

adesso che rileggo il mio post mi è più chiara la situazione. La base che ha coordinate $u,v$ diagonalizza la forma quadratica però non è vero che è una base di $A$. In effetti un cambio di coordinate della forma $y=Mx$ mi diagonalizza la forma quadratica $x^tAx$ ossia $y^TAy$ non ha coeffiecienti misti ma sebbene $y^tAy=x^t(M^tAM)x$ non ho che $M^tAM$ è simile alla matrice $A$ in quanto non è detto che $M$ sia ortogonale, quindi i vettori di $M^(-1)$ non sono necessariamente una base di $A$.

[fransis2]

però a questo punto mi viene in mente una strategia per diagonalizzare una forma quadratica. Il metodo standard sarebbe:

trovare una base $B$ di autovettori della matrice associata alla forma quadratica[/list:u:15wspm5q]

trovare i relativi autovalori $\lambda_i$[/list:u:15wspm5q]

a questo punto rispetto alla base $B$ la forma quadratica risulta $\sum_{i=1}^{N}\lambda_i x_i^2$[/list:u:15wspm5q]
io propongo invece un altro metodo, che spiego con un esempio (per semplicità di notazione...)
supponiamo che io abbia $f(x,y)=x^2-2xy+4xz+2y^2+3yz+z^2$.
Il mio obiettivo è quello di usare $-2xy,$ $+4xz$ per completare il quadrato $(x-y+2z)^2$, quindi riscrivo $x^2-2xy+4xz$ come$(x-y+2z)^2-y^2-4z^2$ e quindi ottengo
$f(x,y)=(x-y-z)^2+y^2-3z^2+3yz$
a questo punto voglio usare 3yz per completare il quadrato con $y$ (formando $(y-\frac{3}{2}z)^2$ ) quindi riscrivo
$f(x,y)=(x-y-z)^2+(y-\frac{3}{2}z)^2-\frac{21}{4}z^2$.

Questo è un algoritmo che dovrebbe funzionare per qualsiasi dimensioni (non solo 3...). Tra l'altro se si pone
$x'=x-y-z, y'=y-\frac{3}{2}z, z'=z$ questa trasformazione ha rango massimo (perchè la matrice è triangolare superiore) ed è vero per ogni dimensione anche negli altri casi.
L' unico problema si ha se, nell'esecuzione dell'algoritmo, mi imbatto con un coefficiente direttivo di un $y_i^2$ pari a 0, come ad esempio se avessi
$g(x,y,z)=x^2-2xy+4xz+y^2+3yz+z^2$ (rispetto a $f$ cambia che cìè $y^2$ anzichè $2y^2$) in cui, una volta scritto $g(x,y,z)=(x-y-z)^2-3z^2+3yz$, non c'è $y^2$.

In questo caso però posso cambiare l'ordine delle $y_i$ nell'algoritmo mettendo quelle col coefficiente uguale a zero in fondo. In questo caso basta falsare il quadrato rispetto a $z$ e non rispetto a $y$ (ossia scrivere $-3z^2+3yz$ come
$-3(z-\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2$
e in generale se ho altre variabili continuare.
Un altro problema sorge se rimango con tutti termini misti e nessun coefficiente degli $y_i^2$
ad esempio se avessi $h(x,y)=(x-y-z)^2+2yz$.
Ma anche in questo caso potrei cavarmela perchè potrei scrivere $2yz=(y+z)^2-(y-z)^2$ e quindi
$h(x,y)=(x-y-z)^2+(y+z)^2-(y-z)^2$.
Il vero problema invece sorgerebbe se io avessi, ad esempio,
$i(x,y,z,w)=(x-y-z)^2+2yz+zw$ oppure $i(x,y,z,w,k)=(x-y-z)^2+2yz+wk$.
Cosa proporreste in questo caso?

Tutto ciò secondo me ha un'utilità: ad esempio quando si voglio calcolare degli integrali e si hanno di mezzo delle forme quadratiche si è sempre interessati a cambiare coordinate (in modo lineare e chiaramente con una trasformazione di rango massimo) per diagonalizzare questa forma quadratica (e spesso poi passare alle coordinate polari). Quindi mettersi a calcolare autovalori non mi sembra una cosa conveniente, in generale...