Dubbio sulle basi di spazi vettoriali.
La definizione di base ci dice che una base B di uno spazio vettoriale V è un sistema di generatori indipendenti. Quindi non basta che l'insieme di vettori B sia composto da vettori indipendenti, ma serve anche che essi siano un sistema di generatori.
Leggo un esercizio secondo cui per determinare se tre vettori dati siano una base per un certo spazio V, basta fare una matrice con le ennuple(l'esercizio parla di spazio di ennuple) e determinarne il rango.
Ma cosa ci dice che queste ennuple siano anche un sistema di generatori per quello spazio vettoriale? Qual è quell'osservazione, teorema, definizione che ora mi sfugge, e secondo cui tre vettori formano una base di V se e solo se sono linearmente indipendenti? A me sembra non bastare questa equivalenza.
Ho pensato a vari teoremi, ma pare che non vadano bene per convincermi. Chi mi aiuta? Chi o che mi dice che un numero pari alla dimensione di V di vettori di V stesso qualsiasi rappresenti una base?
Leggo un esercizio secondo cui per determinare se tre vettori dati siano una base per un certo spazio V, basta fare una matrice con le ennuple(l'esercizio parla di spazio di ennuple) e determinarne il rango.
Ma cosa ci dice che queste ennuple siano anche un sistema di generatori per quello spazio vettoriale? Qual è quell'osservazione, teorema, definizione che ora mi sfugge, e secondo cui tre vettori formano una base di V se e solo se sono linearmente indipendenti? A me sembra non bastare questa equivalenza.
Ho pensato a vari teoremi, ma pare che non vadano bene per convincermi. Chi mi aiuta? Chi o che mi dice che un numero pari alla dimensione di V di vettori di V stesso qualsiasi rappresenti una base?
Risposte
Credo che sottovaluti il ruolo della dimensione...
Infatti, se $B$ è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita $n$, sono equivalenti i seguenti fatti:
1) $B$ è una base di $V$;
2) $B$ è un sistema indipendente costituito da $n$ vettori;
3) $B$ è un sistema di generatori di $V$ costituito da $n$ vettori.
Se prendi $m>=n$ vettori $v_1,\ldots ,v_m$ dello spazio $\bb(K)^n$ ($\bb(K)$ campo), puoi mettere le loro coordinate come righe di una matrice:
$V=((v_1^1,\ldots , v_1^n),(\vdots, \ddots , \vdots),(v_m^1,\ldots ,v_m^n))$
e dalla Teoria delle matrici sai che se $"rank" (V)=n$ allora ci sono almeno $n$ righe indipendenti in $V$; detti $v_(i_1),\ldots ,v_(i_n)$ i vettori che corrispondono ad $n$ righe indipendenti, l'insieme $B:=\{v_(i_1),\ldots ,v_(i_n)\}$ è costituito da esattamente $n$ vettori indipendenti di $\bb(K)^n$ quindi, per la 2), $B$ è una base di $\bb(K)^n$.*
__________
* Qui ho dato per scontato che sapessi che $"dim" \bb(K)^n=n$. Questo fatto si prova facilmente.
Infatti, se $B$ è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita $n$, sono equivalenti i seguenti fatti:
1) $B$ è una base di $V$;
2) $B$ è un sistema indipendente costituito da $n$ vettori;
3) $B$ è un sistema di generatori di $V$ costituito da $n$ vettori.
Se prendi $m>=n$ vettori $v_1,\ldots ,v_m$ dello spazio $\bb(K)^n$ ($\bb(K)$ campo), puoi mettere le loro coordinate come righe di una matrice:
$V=((v_1^1,\ldots , v_1^n),(\vdots, \ddots , \vdots),(v_m^1,\ldots ,v_m^n))$
e dalla Teoria delle matrici sai che se $"rank" (V)=n$ allora ci sono almeno $n$ righe indipendenti in $V$; detti $v_(i_1),\ldots ,v_(i_n)$ i vettori che corrispondono ad $n$ righe indipendenti, l'insieme $B:=\{v_(i_1),\ldots ,v_(i_n)\}$ è costituito da esattamente $n$ vettori indipendenti di $\bb(K)^n$ quindi, per la 2), $B$ è una base di $\bb(K)^n$.*
__________
* Qui ho dato per scontato che sapessi che $"dim" \bb(K)^n=n$. Questo fatto si prova facilmente.
Qui ho dato per scontato che sapessi che dimKKn=n. Questo fatto si prova facilmente.
C'è un errore di battitura??
Sì, infatti stavo correggendo. 
Sì, infatti stavo correggendo.
Era solo per capire, non ti preoccupare
Piuttosto, volevo continuare, perchè quello che mi hai detto o non l'ho affrontato, oppure non sono capace di collegare (molto più probabile) quanto dovrei sapere nella maniera giusta.
Io so solamente che "B è una base di V" equivale a:
1) B è un sistema di vettori indipendenti di cardinalità massima;
2) B è un sistema di generatori di V di cardinalità minima;
La prima affermazione non dice che B è un sistema di vettori indipendenti di cardinalità massima e minima, cosa che dovrebbe servirmi per dire quanto tu dici al punto 2).
Siccome ho le idee un po' confuse di mio, potresti dimostrarmi (ma solo se tale dimostrazione è breve,
, è sabato:-D) perchè dici ciò che dici? Così magari mi collego a qualcosa che ora mi sfugge.
Il teorema di equipotenza delle basi assicura che, in qualunque caso (non solo in quello finito-dimensionale), due qualunque basi di uno stesso spazio vettoriale $V$ sono equipotenti; ciò rende possibile dire che tutte le basi di uno stesso spazio vettoriale finitamente generabile $V$ hanno lo stesso il numero di elementi: infatti, se $B$ e $B'$ sono basi di $V$ e $"card"(B)=n$ allora è pure $"card"(B')=n$. Pertanto si chiama dimensione di $V$ il numero $"dim" V:="card" (B)$, in cui $B$ è una qualsiasi base di $V$.
Fissiamo ora un sistema indipendente $L$ di $V$: un altro risultato fondamentale è che esiste una base $B_L$ di $V$ che contiene $L$; pertanto, se $V$ è finitamente generabile ed ha dimensione $n$ si ha $"card"(L)<="card"(B_L)=n$. Ora, per un noto risultato sugli insiemi finiti, si ha $"card"(L)=n$ se e solo se $L=B_L$ e perciò $L$ è una base di $V$.
Fissiamo ora un sistema indipendente $L$ di $V$: un altro risultato fondamentale è che esiste una base $B_L$ di $V$ che contiene $L$; pertanto, se $V$ è finitamente generabile ed ha dimensione $n$ si ha $"card"(L)<="card"(B_L)=n$. Ora, per un noto risultato sugli insiemi finiti, si ha $"card"(L)=n$ se e solo se $L=B_L$ e perciò $L$ è una base di $V$.
un altro risultato fondamentale è che esiste una base BL di V che contiene L
Rientra, come tutto ciò che hai detto dopo, nel discorso sul "teorema del completamento della base", vero?
Sissì.
Per chiarirmelo in maniera più semplice, per il momento, posso considerare solamente il fatto che, sapendo che per l' esistenza della base canonica conosco la dimensione n, posso verificare che l'insieme dato I di n vettori, se gli n vettori sono indipendenti, è una base in virtù dell'implicazione secondo cui un insieme che abbia il massimo numero di vettori indipendenti di V di cardinalità massima sia anche una base di V?
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