Dubbio sulla risoluzione

[athepilot]

Salve a tutti, ho questo esercizio:

Sia $A$ la matrice associata all'endomorfismo $ f in End(RR^3) $ definito da

$f(x,y,z)=(1/2x+2y+3z, -x+1/2y, -3x+z)$

rispeto alla base canonica in $RR^3$

Sia $B=A+A^T$. Determinare gli autospazi di $B$

Io l'ho svolto così:

Scrivo la matrice associata $A=$$((1/2,2,3),(-1,1/2,0),(-3,0,1))$ e la sua trasposta $A^T=$$((1/2,-1,-3),(2,1/2,0),(3,0,1))$ e quindi

$B=$$((1,1,0),(1,1,0),(0,0,2))$

Trovo gli autovalori

$det(B-$$\lambda$$I)=0$ -> $\lambda$$=0,2$

Quindi

- per $\lambda$$=0$

$((1,1,0),(1,1,0),(0,0,2))$$((x1),(x2),(x3))$$=$$((0),(0),(0))$

$\{(x1+x2=0),(x1+x2=0),(2x3=0):}$

Autospazio è $L(1,-1,0)$

- per $\lambda$$=2$

$((-1,1,0),(1,-1,0),(0,0,0))$$((x1),(x2),(x3))$$=$$((0),(0),(0))$

$\{(-x1+x2=0),(x1-x2=0):}$

Autospazio è $L(1,1,0)$

Ora l'esercizio chiede di mettere una crocetta su

1) $U1=L(1,1,0)$ , $U2=L(1,-1,0),(0,0,1)$
2) $U1=L(1,-1,0)$ , $U2=L(1,1,0),(0,0,1)$
3) $U1=L(1,-1,0)$ , $U2=L(1,1,0)$ , $U3=L(0,0,1)$
4) nessuno dei precedenti

Ora visto che ho travato gli autospazi $L(1,-1,0)$ e $L(1,1,0)$ sarei orientato a metterla su nessuno dei precedenti ma ho paura di non aver svolto correttamente l'esercizio.

Potete darmi una dritta?

[Paolo902]

Hai dimenticato un autovettore per $lambda=2$.

Se guardi molto attentamente la matrice $B$ lo becchi anche ad occhio

[athepilot]

Scusami, ma non riesco proprio a vederlo. Mi spieghi dove sbaglio?

[Gi81]

Hai dimenticato una cosa qui:

"athepilot":- per $\lambda$$=2$

$((-1,1,0),(1,-1,0),(0,0,0))$$((x_1),(x_2),(x_3))$$=$$((0),(0),(0))$

$\{(-x_1+x_2=0),(x_1-x_2=0):}$

Autospazio è $L(1,1,0)$

L'autospazio non ha dimensione $1$, ma $2$.
Esso è formato da tutti i vettori $(x_1,x_2,x_3)$ tali che $x_1=x_2$

[Paolo902]

Se preferisci - oltre a riflettere su quello che giustamente ti ha consigliato Gi8 - puoi osservare la terza colonna di $B$: ricavi che l'applicazione lineare $L_{B}$ manda il vettore $(0,0,1)$ in $(0,0,2)=2(0,0,1)$.

Ora dovrebbe essere immediato concludere

[athepilot]

Ho capito! Grazie a tutti e due