Dubbio sulla posizione degli autovalori sulla matrice diag.

[Serterius]

Ciao a tutti, ho un dubbio che credo valga sia per la diagonalizzazione di una matrice associata ad un'app. lineare che ad una matrice simmetrica associata ad un prodotto scalare generico:
una vola trovato n autovettori ortogonali, posso comporre la matrice del cambio di base (formata da una base di autovettori) variando l'ordine delle colonne a piacimento? Naturalmente variando l'ordine delle colonne, cambierà la disposizione degli autovalori sulla diagonale (della matrice diagonalizzata) con la formula A'=P$^-1$ A P (A' diagonale).
Per es. sui prodotti scalari:
A= $((2,1),(1,2))$ simmetrica, allora gli autovalori sono $\lambda$$_1$=3 (con autovettore u$_1$=(1,1)) e $\lambda$$_2$=1 (con autovettore u$_2$=(-1,1) oppure (1,-1) che sono lin.dip posso scegliere uno dei due vero?)
Allora posso scrivere P=$((1,-1),(1,1))$ con A'=$((3,0),(0,1))$ oppure potrei scegliere P=$((-1,1),(1,1))$ con A'=$((1,0),(0,3))$ ...è la stessa cosa?

Grazie!!!!

[DavideGenova1]

Sì, sì, è la stessa cosa e la fattorizzazione $PA'P^{-1}$ non è unica.
Ciao!