Dubbio sulla dipendenza lineare

[asromavale1]

se ho un vettore $ vec(nu) = alpha vec(rho ) $ vuol dire che $ vec(nu ) $ e $ vec(rho ) $ sono linearmente dipendenti ma se io aggiungo un vettore con coefficiente nullo a destra dell'uguale vale ancora l' uguaglianza? e posso dire che i tre vettori sono linearmente dipendenti? cioè posso dire che $ vec(nu )= alpha vec(rho ) + 0vec(mu ) $ e dire che i tre vettori sono dipendenti?

[minomic]

"asromavale":$ vec(nu )= alpha vec(rho ) + 0vec(mu ) $ e dire che i tre vettori sono dipendenti?

I tre vettori no. Però, e forse intendevi questo, puoi dire che $v$ è linearmente dipendente da $rho$ e $mu$.

Esempio per capirci:
\[
\rho = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} \qquad \mu = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix} \qquad v = \begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}
\] Hai che $rho$ e $mu$ sono tra loro linearmente indipendenti e generano uno spazio di dimensione $2$. Invece $v$ è linearmente dipendente da $rho$ e quindi appartiene allo spazio generato da $rho$. Allora appartiene sicuramente anche allo spazio generato da $rho$ e $mu$.

[asromavale1]

ma $ vec(nu ) $ non è combinazione lineare di $ vec(mu ) $ e $ vec(rho ) $ e quindi i tre vettori sono linearmente dipendenti?

[minomic]

Se intendi che $v$ è dipendente da $mu$ e $rho$ allora ok. Ma io se dico che tre vettori sono linearmente dipendenti intendo che tutti dipendono da tutti, e in questo caso non è vero perché $rho$ e $mu$ tra loro sono indipendenti.

[asromavale1]

io come definizione ho che i vettori $ vec(nu 1) $ , $ vec(nu 2) $ ,..., $ vec(nu k) $ sono linearmente dipendenti se almeno uno di essi può esprimersi come combinazione lineare degli altri

[minomic]

Sì è corretto. Forse mi sono espresso male io... Comunque la risposta alla tua domanda iniziale resta quella: se $v = alpha rho + 0 mu$ allora $v$ è linearmente dipendente da $rho$ e $mu$.
Quello che cercavo di dire è che addirittura $v$ è dipendente anche dal solo $rho$. Quindi sicuramente sarà dipendente anche da $rho$ al quale aggiungi tutti i vettori che vuoi.