Dubbio sulla diagonalizzazione
Ciao a tutti, avrei bisogno ancora del vostro aiuto.
Dunque, supponiamo di avere una matrice A 3x3 e l'esercizio chiede se essa è diagonalizzabile e in tal caso trovare la matrice $P$ tale che $P^-1*A*P=D$ dove P è la matrice formata dagli autovettori.
Supponiamo sempre che le radici del polinomio caratteritico di A siano 2, $\lambda_{1} $e $ \lambda_{2}$. Quindi la molteplicità algebrica è 2 in quanto c'è una soluzione che si ripete.
Adesso formando la matrice $[A - \lambda_{1}*I]$ supponiamo che il rango sia 2, quindi la molteplicità geometrica è 2.
La stessa cosa succede per il secondo autovalore $\lambda_{2}$.
Da quanto ho capito se la molteplicità algebrica(in questo caso 2) e quella geometrica(sempre 2 in questo caso) sono uguali la matrice è diagonalizzabile.
Quindi in questo caso la matrice dovrebbe essere diagonalizzabile, allora la domanda è: come faccio a trovare la matrice P(che deve essere necessariamente 3x3) con soli 2 autovettori?
Spero di essere stato chiaro e chiedo venia per eventuali stupidaggini.
Grazie
Dunque, supponiamo di avere una matrice A 3x3 e l'esercizio chiede se essa è diagonalizzabile e in tal caso trovare la matrice $P$ tale che $P^-1*A*P=D$ dove P è la matrice formata dagli autovettori.
Supponiamo sempre che le radici del polinomio caratteritico di A siano 2, $\lambda_{1} $e $ \lambda_{2}$. Quindi la molteplicità algebrica è 2 in quanto c'è una soluzione che si ripete.
Adesso formando la matrice $[A - \lambda_{1}*I]$ supponiamo che il rango sia 2, quindi la molteplicità geometrica è 2.
La stessa cosa succede per il secondo autovalore $\lambda_{2}$.
Da quanto ho capito se la molteplicità algebrica(in questo caso 2) e quella geometrica(sempre 2 in questo caso) sono uguali la matrice è diagonalizzabile.
Quindi in questo caso la matrice dovrebbe essere diagonalizzabile, allora la domanda è: come faccio a trovare la matrice P(che deve essere necessariamente 3x3) con soli 2 autovettori?
Spero di essere stato chiaro e chiedo venia per eventuali stupidaggini.
Grazie
Risposte
Hai un pò di confusione in testa mi sa...
Se le radici del polinomio sono due, allora come condizione necessaria affinchè la matrice sia diagonalizzabile, una delle radici deve avere molteplicità algebrica due (ovvero il polinomio deve essere della forma $(x - x_0)(x - x_1)^2$, in questo caso ce l'avrà sicuramente perchè è un polinomio di terzo grado...)
Se è verificata la condizione sopra, avrai una autovalore con molteplicità 2, e ora vai a studiare l'autospazio relativo. Se anche quello ha dimensione due, allora la matrice è diagonalizzabile e la base diagonalizzante è data dalla base di $V_{x_0}$ e dalla base di $V_{x_1}$ che sono uno + due = tre vettori...
In pratica, per studiare se una matrice è diagonalizzabile innanzitutto il polinomio caratteristico deve avere $n$ radici (ognuna contata tante volte quanta è la sua molteplicità) e infine l'autospazio relativo ad ogni autovalore deve avere dimensione pare alla molteplicità algebrica di tale autovalore..
Se le radici del polinomio sono due, allora come condizione necessaria affinchè la matrice sia diagonalizzabile, una delle radici deve avere molteplicità algebrica due (ovvero il polinomio deve essere della forma $(x - x_0)(x - x_1)^2$, in questo caso ce l'avrà sicuramente perchè è un polinomio di terzo grado...)
Se è verificata la condizione sopra, avrai una autovalore con molteplicità 2, e ora vai a studiare l'autospazio relativo. Se anche quello ha dimensione due, allora la matrice è diagonalizzabile e la base diagonalizzante è data dalla base di $V_{x_0}$ e dalla base di $V_{x_1}$ che sono uno + due = tre vettori...
In pratica, per studiare se una matrice è diagonalizzabile innanzitutto il polinomio caratteristico deve avere $n$ radici (ognuna contata tante volte quanta è la sua molteplicità) e infine l'autospazio relativo ad ogni autovalore deve avere dimensione pare alla molteplicità algebrica di tale autovalore..
Grazie per la risposta..sicuramente ho moolta confusione in testa 
Teoricamente ci sono, almeno credo, praticamente diciamo che mi "blocco". Scrivo l'esercizio per essere più chiaro.
La matrice da diagonalizzare è la seguente $C= ((3,-1,1),(7,-5,1),(6,-6,2))$
Il polinomio caratteristico mi viene $t^3-12t+16=0$ che viene scomposto nella maniera seguente $(t+4)(t-2)^2$ quindi abbiamo l'autovalore $\lambda_{1} = -4$ con molteplicità algebrica pari a 1 e l'autovalore $\lambda_{2} = 2$ con molteplicità algebrica pari a 2.
Adesso quindi vado a verificare che l'autospazio relativo ad ogni autovalore deve avere dimensione pare alla molteplicità algebrica di tale autovalore.
Per $\lambda_{1} = -4$ la matrice $[C-\lambda_{1}*I]$ sarà:
$((7,-1,1),(7,-1,1),(6,-6,6))$
due righe sono uguali, quindi il rango è pari a 2? E la dimensione?
Ti ringrazio per la pazienza
Teoricamente ci sono, almeno credo, praticamente diciamo che mi "blocco". Scrivo l'esercizio per essere più chiaro.
La matrice da diagonalizzare è la seguente $C= ((3,-1,1),(7,-5,1),(6,-6,2))$
Il polinomio caratteristico mi viene $t^3-12t+16=0$ che viene scomposto nella maniera seguente $(t+4)(t-2)^2$ quindi abbiamo l'autovalore $\lambda_{1} = -4$ con molteplicità algebrica pari a 1 e l'autovalore $\lambda_{2} = 2$ con molteplicità algebrica pari a 2.
Adesso quindi vado a verificare che l'autospazio relativo ad ogni autovalore deve avere dimensione pare alla molteplicità algebrica di tale autovalore.
Per $\lambda_{1} = -4$ la matrice $[C-\lambda_{1}*I]$ sarà:
$((7,-1,1),(7,-1,1),(6,-6,6))$
due righe sono uguali, quindi il rango è pari a 2? E la dimensione?
Ti ringrazio per la pazienza
Il procedimento è giusto. La dimensione è uguale, se la matrice$\in M_n(K)$, a $n - r(a)$ quindi nel tuo caso è uguale a $3 - 2 = 1$.
Un consiglio comunque: la dimensione dell'autospazio generato da un autovalore è sempre almeno uno e la molteplicità geometrica è sempre minore o uguale di quella algebrica, per cui se hai autovalori con molteplicità algebrica 1 è automaticamente vero che la loro dimensione geometrica è uguale a quella algebrica (ovvero 1).
Il controllo della dimensione dell'autospazio generato è necessario quando hai autovalori con molteplicità algebrica maggiore di uno, in quanto non è detto che la loro dimensione geometrica sia uguale. Il tuo controllo si riduce quindi alla dimensione dell'autospazio relativo a $\lambda_2 = 2$
Un consiglio comunque: la dimensione dell'autospazio generato da un autovalore è sempre almeno uno e la molteplicità geometrica è sempre minore o uguale di quella algebrica, per cui se hai autovalori con molteplicità algebrica 1 è automaticamente vero che la loro dimensione geometrica è uguale a quella algebrica (ovvero 1).
Il controllo della dimensione dell'autospazio generato è necessario quando hai autovalori con molteplicità algebrica maggiore di uno, in quanto non è detto che la loro dimensione geometrica sia uguale. Il tuo controllo si riduce quindi alla dimensione dell'autospazio relativo a $\lambda_2 = 2$
Grazie mille, ora è tutto chiaro 
Perfetto 
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