Dubbio sulla definizione di "applicazione lineare"

[ClarkSt]

Un'applicazione, in generale, è una "legge" che associa a ciascun elemento di un insieme, detto dominio, uno ed un solo elemento di un altro, detto codominio (e non necessariamente distinto dal primo).

Applicazione lineare: un'applicazione si dice lineare se, comunque scelti due vettori e due scalari :
a) l'immagine della somma è la somma delle immagini (additività):

b) l'immagine del prodotto per uno scalare è il prodotto per uno scalare dell'immagine (omogeneità):

(preso da: Algebra lineare for dummies)

Queste definizioni corrispondono a quel che ho letto in generale sulle applicazioni lineari... ma c'e' una cosa che non mi quadra.

Come qualsiasi funzione, un'applicazione lineare può essere iniettiva, suriettiva, biiettiva.

Se ho una $f : RR3->RR3$ che, con $3$ vettori diversi da' lo stesso risultato ($f(3,1,1)=(2,1,1), f(5,2,2)=(2,1,1), f(1,1,2)=(2,1,1)$)... sicuramente non e' biiettiva. Ma sta legando tre elementi di $RR3$ ad un solito elemento di $RR3$! Questo comportamento non tradisce la definizione di "applicazione" ? Cosa mi sta sfuggendo? E' possibile definire un ambito in cui tale funzione sia un'applicazione lineare? ... quindi il "associa a ciascun elemento di un insieme uno ed un solo elemento di un altro" come coesiste con la possibilita' che un'applicazione lineare possa non essere ne' suriettiva ne' iniettiva?

[Gatto891]

La definizione di applicazione ti dice che non puoi legare ad un elemento del dominio più elementi del codominio, non il viceversa (che è la definizione di applicazione iniettiva). Per esempio la funzione $f: RR \rarr RR$, $f(x) = x^2$ è una funzione ben definita e $f(-1) = f(1) = 1$,

[mistake89]

Nella definizione di applicazione si chiede che l'immagine sia unica, non distinta dalle altre...

[ClarkSt]

L'implicazione va in un solo senso... Ok.

Quindi, un'applicazione puo' darmi il solito risultato a prescindere dal dato che le do' in pasto: basta che uno stesso elemento del dominio porti ad un solo elemento del codominio. Una funzione che descrive un'ellisse non e' un'applicazione, giusto?

Svista abbastanza grave, ma... ok. Resta l'altra parte: "lineare". Ma se io ho una funzione che e' descritta dai tre casi mostrati nel primo post, come faccio a sperare che possa essere lineare? O meglio: a pelle mi vien da dire che non possa essere lineare, perche' a prescindere dalle terne che metto, il risultato sara' sempre $2,1,1$.

$f(x+v)=(2,1,1)$ e $f(x)+f(v) = (2+2,1+1,1+1)$ . Questo senza svolgere alcun calcolo. L'errore e' qui, ed invece dovrei cercare di estrapolare il comportamento della funzione? (L'esercizio mi chiederebbe di trovare una matrice $A$ di cui questa funzione sia applicazione lineare.)