Dubbio sulla definizione di algebra
Spero di aver postato nella sezione giusta 
Mi sono imbattuto nella seguente definizione: sia $X$ uno spazio metrico compatto. $A\subset\mathcal{C}(X,RR)$ è un'algebra su $X$ se è definita un prodotto interno ad $A$ ($\forall f,g\inA\ fg\inA$).
Non riesco a capire come mai è richiesto che $X$ sia compatto. Any ideas?
Mi sono imbattuto nella seguente definizione: sia $X$ uno spazio metrico compatto. $A\subset\mathcal{C}(X,RR)$ è un'algebra su $X$ se è definita un prodotto interno ad $A$ ($\forall f,g\inA\ fg\inA$).
Non riesco a capire come mai è richiesto che $X$ sia compatto. Any ideas?
Risposte
Scusa matths, ma $C(X,RR)$ intendi la classe delle applicazioni continue di $X$ in $RR$?
Se è così, la compattezza di $X$ ti assicura che ogni $f\in C(X,RR)$ ha massimo e minimo (ed è uniformemente continua).
Quindi il requisito di compattezza ti serve se, ad esempio, vuoi normare $C(X,RR)$ con la norma del massimo.
In generale, un'algebra su un campo è uno spazio vettoriale con in più una moltiplicazione interna compatibile con le operazioni già definite.
Da quanto leggo, sembra che tu voglia costruire una $RR$-algebra a partire dallo $RR$-spazio vettoriale $C(X,RR)$. O sbaglio?
Se è così, la compattezza di $X$ ti assicura che ogni $f\in C(X,RR)$ ha massimo e minimo (ed è uniformemente continua).
Quindi il requisito di compattezza ti serve se, ad esempio, vuoi normare $C(X,RR)$ con la norma del massimo.
In generale, un'algebra su un campo è uno spazio vettoriale con in più una moltiplicazione interna compatibile con le operazioni già definite.
Da quanto leggo, sembra che tu voglia costruire una $RR$-algebra a partire dallo $RR$-spazio vettoriale $C(X,RR)$. O sbaglio?
Con $C(X,RR)$ intendo proprio le funzioni continue da $X$ in $RR$.
Mi sono imbattuto nella definizione di algebra che ho postato sopra in una dispensa che enuncia (senza dimostrare) il teorema di Stone - Weierstrass, quindi riuscivo a capire a cosa serve la compattezza; probabilmente è come dici tu.
Mi sono imbattuto nella definizione di algebra che ho postato sopra in una dispensa che enuncia (senza dimostrare) il teorema di Stone - Weierstrass, quindi riuscivo a capire a cosa serve la compattezza; probabilmente è come dici tu.
Sicuramente, dato che in Stone-Weierstrass (che poi altro non è che una generalizzazione del classico teorema di Weierstrass d'approssimazione mediante polinomi) si cerca di approssimare le funzioni di $C(X,RR)$ con elementi di una sottoalgebra; ovviamente il tutto in norma del massimo, che è la "norma naturale" di $C(X,RR)$ quando $X$ è compatto.
Se $X$ non è compatto, ma solo localmente compatto, allora al posto di $C(X,RR)$ devi prendere $C_0(X,RR)$ (spazio delle funzioni continue che "si annullano all'infinito").
Se $X$ non è compatto, ma solo localmente compatto, allora al posto di $C(X,RR)$ devi prendere $C_0(X,RR)$ (spazio delle funzioni continue che "si annullano all'infinito").
Noi abbiamo enunciato Stone-Weierstrass nel seguente modo: sia $X$ uno spazio metrico compatto e $A$ un'algebra su $X$ contenente tutte le f.ni costanti. Allora le seguenti sono equivalenti:
1) $A$ è densa in $C(X,RR)$;
2) $A$ separa i punti di $X$.
Come vedi, non compare esplicitamente $||\cdot||_{oo}$ (ma è implicito, come mi hai fatto osservare, che è la norma "naturale" nel mio spazio di funzioni). Grazie per la dritta.
1) $A$ è densa in $C(X,RR)$;
2) $A$ separa i punti di $X$.
Come vedi, non compare esplicitamente $||\cdot||_{oo}$ (ma è implicito, come mi hai fatto osservare, che è la norma "naturale" nel mio spazio di funzioni). Grazie per la dritta.
Beh, scusa, ma se dici "$A$ è densa in $C(X,RR)$" devi specificare pure la topologia che ci metti, su $C(X,RR)$... Altrimenti che senso ha l'enunciato?
Ho appena controllato sulle mie dispense: sia nella definizione che nell'enunciato non viene fatto riferimento alla norma usata. Molto probabilmente, come dici tu, ha sottointeso la norma infinito.
Il teorema di weierstrass per funzioni reali continue a più variabili enuncia che l'immagine di una funzione continua e compatta è anchessa compatta o solo limitata?
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