Dubbio sul rango di un sistema lineare
Il sistema è il seguente:
${(2x + (2k-1)y = 1),(2x +y = k),(2kx +(2k-1)y =1):}$
Calcolo il determinante della matrice completa $-> (k-1)(4k^2 -2k -2)$ ed ho che si annulla per $k = 1$ e $k = -1/2$.
Il problema ce l'ho per $k != 1$ e $k != -1/2$.
Primo dubbio:
in questi due casi, il determinante non si annulla, QUINDI, essendo la matrice completa una matrice quadrata, il rango di A|b è = al numero delle incognite, cioè 2. (è giusto?)
Secondo dubbio:
Poichè rango A|b = 2, il rango della matrice A, in questo caso, quanto può essere? Può essere pari a 2? Io penso che debba essere per forza inferiore a 2, poichè se il rango della matrice A|b è 2, quello della matrice A incompleta dovrà essere necessariamente inferiore al rango di A|b! O no?
Grazie!
${(2x + (2k-1)y = 1),(2x +y = k),(2kx +(2k-1)y =1):}$
Calcolo il determinante della matrice completa $-> (k-1)(4k^2 -2k -2)$ ed ho che si annulla per $k = 1$ e $k = -1/2$.
Il problema ce l'ho per $k != 1$ e $k != -1/2$.
Primo dubbio:
in questi due casi, il determinante non si annulla, QUINDI, essendo la matrice completa una matrice quadrata, il rango di A|b è = al numero delle incognite, cioè 2. (è giusto?)
Secondo dubbio:
Poichè rango A|b = 2, il rango della matrice A, in questo caso, quanto può essere? Può essere pari a 2? Io penso che debba essere per forza inferiore a 2, poichè se il rango della matrice A|b è 2, quello della matrice A incompleta dovrà essere necessariamente inferiore al rango di A|b! O no?
Grazie!
Risposte
Allora: tu hai la matrice completa che è questa $((2, 2k-1, 1), (2, 1, k), (2k, 2k-1, 1))$.
I calcoli che hai fatto sono giusti ma la conclusione è sbagliata! Per $k != 1 ^^ k != 1/2$ il determinante non si annulla, quindi la matrice è invertibile, quindi il suo rango è $3$!!
La matrice incompleta non avrà mai rango $3$ poichè è una $3xx2$ quindi i ranghi sono diversi $rArr$ il sistema è impossibile!
Se mai questo sistema ammetterà soluzioni nei casi particolari $k=1$ oppure $k=1/2$, che si trovano come al solito sostituendo.
I calcoli che hai fatto sono giusti ma la conclusione è sbagliata! Per $k != 1 ^^ k != 1/2$ il determinante non si annulla, quindi la matrice è invertibile, quindi il suo rango è $3$!!
La matrice incompleta non avrà mai rango $3$ poichè è una $3xx2$ quindi i ranghi sono diversi $rArr$ il sistema è impossibile!
Se mai questo sistema ammetterà soluzioni nei casi particolari $k=1$ oppure $k=1/2$, che si trovano come al solito sostituendo.
"minomic":
Allora: tu hai la matrice completa che è questa $((2, 2k-1, 1), (2, 1, k), (2k, 2k-1, 1))$.
I calcoli che hai fatto sono giusti ma la conclusione è sbagliata! Per $k != 1 ^^ k != 1/2$ il determinante non si annulla, quindi la matrice è invertibile, quindi il suo rango è $3$!!
La matrice incompleta non avrà mai rango $3$ poichè è una $3xx2$ quindi i ranghi sono diversi $rArr$ il sistema è impossibile!
Se mai questo sistema ammetterà soluzioni nei casi particolari $k=1$ oppure $k=1/2$, che si trovano come al solito sostituendo.
Ecco! Allora evidentemente non mi erano chiare queste conclusioni:
il rango di una matrice quadrata è massimo, e quindi, è pari a 3, perchè la matrice completa in questo caso è quadrata e 3x3 (quindi rango =3) e NON pari al numero delle incognite, come credevo prima!
Quindi, visto che in questo caso la matrice completa è una 3x3, se il determinante è non nullo, il rango è massimo e pari a 3.
La matrice incompleta, essendo una 3x2, non potrà mai avere rango 3.
It's ok?
PS: minomic, credo ti debba un compenso, ti sto togliendo la vita
"Baldur":
Quindi, visto che in questo caso la matrice completa è una 3x3, se il determinante è non nullo, il rango è massimo e pari a 3.
La matrice incompleta, essendo una 3x2, non potrà mai avere rango 3.
It's ok?
Parole sante!
"Baldur":
minomic, credo ti debba un compenso, ti sto togliendo la vita
Non ti preoccupare, siamo qui apposta!
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