Dubbio sul punto doppio di una conica.
Salve!
Sto studiando i fasci di coniche ed avrei un paio di dubbi su di un esercizio!
In pratica mi viene chiesto di trovare una conica, sapendo che passa per 3 punti $P_(1)$, $P_(2)$ e $P_(3)$ e che è tangente ad una retta $r$ in $P_(4)$.
Io ho trovato due coniche con cui costruire il fascio per poi imporre il passaggio per il terzo punto.
Per farlo mi sono basato sul fatto che tutte le rette passanti per un punto doppio di una conica sono tangenti, in quel punto, alla conica.
Quindi ho preso la conica composta dalle due rette $r$ e $P_(1)P_(2)$ e la conica composta dalle rette $P_(1)P_(4)$ e $P_(2)P_(4)$.
Ho svolto i miei calcoli e mi è tornato tutto! Vi chiederete "dov'è il problema se hai fatto tutto bene?"... giusta domanda!
In pratica io non so perchè $P_(4)$ è un punto doppio! Sono andato molto ad intuito e credo sia un caso che mi sia ritornato il tutto.
Quindi cosa mi da la certezza che quello sia un punto doppio? Vale il "contrario" della definizione che ho dato in precedenza? Ovvero... se una conica è tangente ad una retta in punto, quel punto è doppio.
Ma soprattutto cos è un punto doppio in parole semplici? Sul libro viene solamente accennato mentre si parla di tangenza della retta ad una conica.
Inoltre approfitto per togliermi un altro dubbio! Dire che conto una conica due volte significa che prendo la conica composta da due rette sovrapposte?
Sto studiando i fasci di coniche ed avrei un paio di dubbi su di un esercizio!
In pratica mi viene chiesto di trovare una conica, sapendo che passa per 3 punti $P_(1)$, $P_(2)$ e $P_(3)$ e che è tangente ad una retta $r$ in $P_(4)$.
Io ho trovato due coniche con cui costruire il fascio per poi imporre il passaggio per il terzo punto.
Per farlo mi sono basato sul fatto che tutte le rette passanti per un punto doppio di una conica sono tangenti, in quel punto, alla conica.
Quindi ho preso la conica composta dalle due rette $r$ e $P_(1)P_(2)$ e la conica composta dalle rette $P_(1)P_(4)$ e $P_(2)P_(4)$.
Ho svolto i miei calcoli e mi è tornato tutto! Vi chiederete "dov'è il problema se hai fatto tutto bene?"... giusta domanda!
In pratica io non so perchè $P_(4)$ è un punto doppio! Sono andato molto ad intuito e credo sia un caso che mi sia ritornato il tutto.
Quindi cosa mi da la certezza che quello sia un punto doppio? Vale il "contrario" della definizione che ho dato in precedenza? Ovvero... se una conica è tangente ad una retta in punto, quel punto è doppio.
Ma soprattutto cos è un punto doppio in parole semplici? Sul libro viene solamente accennato mentre si parla di tangenza della retta ad una conica.
Inoltre approfitto per togliermi un altro dubbio! Dire che conto una conica due volte significa che prendo la conica composta da due rette sovrapposte?
Risposte
Forse è proprio quello che stai chiedendo, ma... mi daresti la definizione che hai di punto doppio? Perché non mi torna in questo contesto.
No. Prendi $( x + y )^2 = 0$; questa equazione definisce una conica (il polinomio $p(x,y) = (x + y)^2$ è di 2° grado). Se andiamo a vedere l'insieme dei punti del piano che soddisfano tale equazione ci ritroviamo con una retta, cioè lo stesso insieme di punti individuato dall'equazione $x + y = 0$ (equazione che non definisce una conica). Per tenere conto del fatto che il polinomio $p$ è un quadrato si dice che la retta è contata con molteplicità 2.
"Serxe":
Inoltre approfitto per togliermi un altro dubbio! Dire che conto una conica due volte significa che prendo la conica composta da due rette sovrapposte?
No. Prendi $( x + y )^2 = 0$; questa equazione definisce una conica (il polinomio $p(x,y) = (x + y)^2$ è di 2° grado). Se andiamo a vedere l'insieme dei punti del piano che soddisfano tale equazione ci ritroviamo con una retta, cioè lo stesso insieme di punti individuato dall'equazione $x + y = 0$ (equazione che non definisce una conica). Per tenere conto del fatto che il polinomio $p$ è un quadrato si dice che la retta è contata con molteplicità 2.
Prima di tutto ti ringrazio per l'interessamento!
Il mio problema è proprio questo! Sul libro non viene data nessuna definizione di punto doppio e non ho possibilità di chiarire il discorso con il professore.
Con delle ricerche più approfondite ho scoperto che facevo confusione tra il punto doppio di una conica ed un punto di molteplicità 2 relativo ad un fascio... quindi in realtà mi interessa più una definizione della seconda, dato che quella di punto doppio di una conica la conosco.
Da quello che ho capito è una "condizione" nella quale due punti che appartengono al fascio, mi puoi confermare questa cosa?
Il mio problema è proprio questo! Sul libro non viene data nessuna definizione di punto doppio e non ho possibilità di chiarire il discorso con il professore.
Con delle ricerche più approfondite ho scoperto che facevo confusione tra il punto doppio di una conica ed un punto di molteplicità 2 relativo ad un fascio... quindi in realtà mi interessa più una definizione della seconda, dato che quella di punto doppio di una conica la conosco.
Da quello che ho capito è una "condizione" nella quale due punti che appartengono al fascio, mi puoi confermare questa cosa?
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