Dubbio sul prodotto misto
Salve ragazzi ho questo dubbio...
Dati i vettori $\vec u(1,0,2) \vec v(-1,3,4) \vec w(a,b,1)$ devo trovare per quali valori di $a$ e $b$ il vettore $\vec w$ è perpendicolare ai vettori $\vec u$ e $\vec v$ . Allora mi è venuto in mente il prodotto misto di 3 vettori, mettendo a matrice i 3 vettori il determinante deve essere nullo o diverso da zero? E' giusto come sto procedendo? se no come si fa?
Dati i vettori $\vec u(1,0,2) \vec v(-1,3,4) \vec w(a,b,1)$ devo trovare per quali valori di $a$ e $b$ il vettore $\vec w$ è perpendicolare ai vettori $\vec u$ e $\vec v$ . Allora mi è venuto in mente il prodotto misto di 3 vettori, mettendo a matrice i 3 vettori il determinante deve essere nullo o diverso da zero? E' giusto come sto procedendo? se no come si fa?
Risposte
Usando quel metodo puoi solo trovare i valori per cui quel vettore è linearmente indipendente o meno con gli altri. Siccome siamo però in \(\mathbb R^3\), tutti i vettori perpendicolari a due vettori linearmente indipendenti sono paralleli al loro prodotto vettoriale.
quindi come procedo faccio il prodotto vettoriale tra u e v e poi?
E poi trovi i valori di \(a\) e \(b\) per cui il prodotto vettoriale e il vettore \(w\) siano paralleli.
Cioè mettendo a matrice le componenti del vettore che mi è venuto fuori dal prodotto vettoriale tra u e v e le componenti di w, imponendo il determinante uguale a zero?
Ma NO!!! Stai cadendo in un bicchiere d'acqua.. Due vettori \(v\) e \(w\) sono paralleli se \(v = \lambda \, w\) per un qualche \(\lambda \in \mathbb R\).
possiamo farlo insieme? allora ho trovato il prodotto vettoriale tra u e v che è -6i-6j+3k, come procedo? potresti scrivermelo...
Basta che scrivi la relazione che ti ha scritto apatriarca coi giusti vettori. Dopodiché ti accorgerai da solo cosa fare, determinando il [tex]\lambda[/tex]. 
potreste aiutarmi a scriverlo?
Devi risolvere:
\[ (a, b, 1) = \lambda \, (-6,-6,3). \]
\[ (a, b, 1) = \lambda \, (-6,-6,3). \]
cioè devo scrivere il vettore $\vec w(a,b,1)$ come combinazione lineare del vettore $(-6,-6,3)$ ma nn ricordo come fare precisamente, scusatemi se sono ignorante
Quella scritta è equivalente al sistema seguente:
\[ \begin{cases} a + 6\,\lambda = 0 \\ b + 6\,\lambda = 0 \\ 3\,\lambda = 1 \end{cases} \]
con incognite \( a, b, \lambda. \)
\[ \begin{cases} a + 6\,\lambda = 0 \\ b + 6\,\lambda = 0 \\ 3\,\lambda = 1 \end{cases} \]
con incognite \( a, b, \lambda. \)
Grazie 1000! ho trovato che a=b uguale a -2
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