Dubbio su somma e intersezione di spazi vettoriali
\( \displaystyle W=\{ (x,y,z,t) \in R^4 : y=z=0 \} \)Salve, avrei dei dubbi su questo esercizio :
Trovare due sottospazi \(\displaystyle U \) e \(\displaystyle W \) di \(\displaystyle R^4 \) tali che \(\displaystyle dim(U \cap W)=1 \) e \(\displaystyle R^4 = U+W \).
Ora io lo svolgerei così, scelgo i seguenti sottospazi :
\(\displaystyle U=\{ (x,y,z,t) \in R^4 : x=y=0 \} \)
\(\displaystyle W=\{ (x,y,z,t) \in R^4 : y=z=0 \} \)
Quindi \(\displaystyle dim(U)=dim(W)=2 \) e \(\displaystyle U \cap W = \{ t \} \). Dunque in definitiva \(\displaystyle dim(U \cap W)=1 \) e sommando i due sottospazi risulta che \(\displaystyle U+W=R^4 \). Ora ho visto come lo hanno risolto alcuni miei compagni di corso e loro impostano i due sottospazi nel seguente modo :
\(\displaystyle U=\{ (x,y,z,t/2) \in R^4 : x=y=0 \} \)
\(\displaystyle W=\{ (x,y,z,t/2) \in R^4 : y=z=0 \} \)
Così, secondo il loro ragionamento, sommando \(\displaystyle U \) e \(\displaystyle W \) risulta quindi che \(\displaystyle t/2+t/2=t \) e quindi \(\displaystyle U+W=R^4 \). Quale svolgimento è giusto, oppure sono uguali ?
Trovare due sottospazi \(\displaystyle U \) e \(\displaystyle W \) di \(\displaystyle R^4 \) tali che \(\displaystyle dim(U \cap W)=1 \) e \(\displaystyle R^4 = U+W \).
Ora io lo svolgerei così, scelgo i seguenti sottospazi :
\(\displaystyle U=\{ (x,y,z,t) \in R^4 : x=y=0 \} \)
\(\displaystyle W=\{ (x,y,z,t) \in R^4 : y=z=0 \} \)
Quindi \(\displaystyle dim(U)=dim(W)=2 \) e \(\displaystyle U \cap W = \{ t \} \). Dunque in definitiva \(\displaystyle dim(U \cap W)=1 \) e sommando i due sottospazi risulta che \(\displaystyle U+W=R^4 \). Ora ho visto come lo hanno risolto alcuni miei compagni di corso e loro impostano i due sottospazi nel seguente modo :
\(\displaystyle U=\{ (x,y,z,t/2) \in R^4 : x=y=0 \} \)
\(\displaystyle W=\{ (x,y,z,t/2) \in R^4 : y=z=0 \} \)
Così, secondo il loro ragionamento, sommando \(\displaystyle U \) e \(\displaystyle W \) risulta quindi che \(\displaystyle t/2+t/2=t \) e quindi \(\displaystyle U+W=R^4 \). Quale svolgimento è giusto, oppure sono uguali ?
Risposte
"Elia1999":
Quale svolgimento è giusto, oppure sono uguali ?
Sono ugualmente sbagliati
Chiediti cosa sia W e quale sia il complemento ortogonale a $R^4$ e scrivilo. Poi rimuovi da esso una delle due costrizioni a piacere ed ottieni U.
Scelgo come due sottospazi :
\(\displaystyle U=\{ (x,y,z,t) \in R^4 : t=0 \} \)
\(\displaystyle W=\{ (x,y,z,t) \in R^4 : x=y=0 \} \)
Così va bene ?
\(\displaystyle U=\{ (x,y,z,t) \in R^4 : t=0 \} \)
\(\displaystyle W=\{ (x,y,z,t) \in R^4 : x=y=0 \} \)
Così va bene ?
"Elia1999":
Scelgo come due sottospazi :
\(\displaystyle U=\{ (x,y,z,t) \in R^4 : t=0 \} \)
\(\displaystyle W=\{ (x,y,z,t) \in R^4 : x=y=0 \} \)
Così va bene ?
Hai scritto male W ma penso che tu abbia capito.
\(\displaystyle W=\{ (x,y,z,t) \in R^4 : y=z=0 \} \)
Quindi \(\displaystyle U=\{ (x,y,z,t) \in R^4 : x=0 \} \) oppure \(\displaystyle U=\{ (x,y,z,t) \in R^4 : t=0 \} \) vanno bene
P.S. E se prendo \(\displaystyle U=\{ (x,y,z,t) \in R^4 : x=1 \} \) che succede?
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