Dubbio su somma diretta

[Trivroach]

Salve. Se dati due sottospazi: $ U $ e $ W $

$ dim(U+W)= dim(U) + dim(W) $

I due sottospazi si dicono in somma diretta?

[Pappappero1]

E' vero in dimensione finita.

Cosa dice la formula di Grassmann?

[Trivroach]

Si grazie, ora ricordo bene. Se due sottospazi sono in somma diretta significa che la loro intersezione è il singleton del vettore nullo. Per la formula di Grassmann: $ dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W) $ ma essendo $ dim(U\cap W)=0 $ si ha proprio che $ dim(U+W)=dim(U)+dim(W) $ .

[Trivroach]

Avrei una richiesta per quanto riguarda un esercizio. Dopo aver determinato $ S=Sol(Sigma) $ di un sistema lineare, una sua base e la sua dimensione, l'esercizio mi chiede di determinare un sottospazio supplementare di $ S $ in $ R^5 $ cioè $ Sol(Sigma) $ $ o+ $ $ U $ $ = $ $ R^5 $ .

La dimensione di $ S $ che ho trovato è 2. Risolvendo il sistema con i parametri ho successivamente determinato anche una base $ B=[((1/3,0,-2/3,1)),(1,1,0,0)] $ . Non sono sicuro su come procedere adesso per completare la suddetta richiesta.

Grazie mille.

[Trivroach]

Chiedo scusa se riuppo ma avrei davvero bisogno che qualcuno mi chiarisca quella richiesta. La nostra prof la utilizza molto spesso negli esercizi.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Si tratta di prendere B e completarlo a una base, cioè trovare tre vettori $u,v,w$ tali che $B \cup \{u,v,w\}$ è una base di $RR^5$. Fatto questo sceglierai $U$ come il sottospazio generato da $u,v,w$.

Per trovare $u,v,w$ io di solito vado a tentativi, prova coi vettori della base canonica.

[Trivroach]

Ciao e grazie per la risposta. Ora credo mi sia chiaro.

Il sottospazio supplementare $ U $ che ho trovato di $ R^5 $ è $ U=L(e_3,e_4,e_5) $ .