Dubbio su soluzioni di un sistema omogeneo associato

[lotuno]

Buon pomeriggio a tutti, volevo proporvi questo esercizio che mi ha acceso un dubbio:

"Sono dati i vettori u = (1; 3; 4) e v = (0; 4; 5); sapendo che sono soluzioni di uno stesso sistema lineare
AX = B, B diverso da 0, scrivere:
(a) una soluzione del sistema omogeneo associato AX = 0;
(b) un'altra soluzione del sistema lineare AX = B"

Allora io alla (a) avrei risposto semplicemente dicendo che una soluzione può essere (0; 0; 0), quella banale. Invece alla (b) avrei risposto tramite una generica combinazione lineare tra le due enuple che già conosco, per esempio (1; 3; 4) + (0; 4; 5) = (1; 7; 9). Vi chiedo se sono ragionamenti giusti oppure no (soprattutto per la prima domanda), e vi ringrazio anticipatamente. Illuminatemi

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Premesso che la soluzione nulla è sempre presente nei sistemi lineari omogenei, direi che il tuo ragionamento relativo al punto (b) non è esatto, perchè il sistema non è omogeneo; infatti si ha:

$Au=B, Av=B Rightarrow Au+Av=A*(u+v)=2B!=B$ (supponendo $B!=0$)

quindi il vettore $u+v$ non può essere soluzione di $Ax=B$ se $B!=0$.

Si potrebbe tentare di risolvere così, l'esercizio:

(a) $Au=B, Av=B Rightarrow Au-Av=A*(u-v)=B-B=0$

quindi una soluzione (non banale) del sistema omogeneo associato è data da $u-v$.

(b) Si noti che $A*(u-v)+Au=0+B=B Rightarrow A*(u-v+u)=A*(2u-v)=B$

quindi un'altra soluzione di $Ax=B$ potrebbe essere data dal vettore $2u-v$.

Spero di essere stato utile.

Saluti.

[lotuno]

Mi hai dato uno spunto di riflessione davvero notevole, non l'avevo mai pensato in questo modo! Grande, grazie mille

[Sk_Anonymous]

Sono molto lieto di ciò.

Saluti.

[vict85]

[xdom="vict85"]Sposto in geometria e algebra lineare[/xdom]

Anche se è piuttosto inutile ormai.