Dubbio su quiz: funzioni a più variabili
Buongiorno a tutti, volevo proporre un quiz in cui mi sono imbattuto. Riguarda le funzioni a più variabili:
"Sia data la funzione a variabili reali: f(x,y) = y^2 +3x^2 -x^3. Quale affermazione è vera?" :
A) Il gradiente della funzione è diverso da 0 per ogni punto P dello spazio $R^2$
B) (0; 0) è un punto di massimo
C) $(partial f)/(partial x)$ si annulla in infiniti punti
D) (2; 1) è un punto stazionario
Facendo le derivate parziali rispetto a x e y, trovo $6x-3x^2, 2y$ e mi sembra che si annullino per (0;0), quindi già scarto la A e la D. Quando però proseguo e vado a calcolare la Hessiana, trovo che (0;0) è in realtà un minimo, perché il determinante della Hessiana è >0 e i coefficienti hanno entrambi i valori positivi, quindi scarto la B... Poi la C mi sembra falsa, la derivata parziale rispetto a x non mi sembra che si annulli in infiniti punti. Qualcuno ha qualche suggerimento? Pensate siano sbagliate le risposte? Grazie mille in anticipo
"Sia data la funzione a variabili reali: f(x,y) = y^2 +3x^2 -x^3. Quale affermazione è vera?" :
A) Il gradiente della funzione è diverso da 0 per ogni punto P dello spazio $R^2$
B) (0; 0) è un punto di massimo
C) $(partial f)/(partial x)$ si annulla in infiniti punti
D) (2; 1) è un punto stazionario
Facendo le derivate parziali rispetto a x e y, trovo $6x-3x^2, 2y$ e mi sembra che si annullino per (0;0), quindi già scarto la A e la D. Quando però proseguo e vado a calcolare la Hessiana, trovo che (0;0) è in realtà un minimo, perché il determinante della Hessiana è >0 e i coefficienti hanno entrambi i valori positivi, quindi scarto la B... Poi la C mi sembra falsa, la derivata parziale rispetto a x non mi sembra che si annulli in infiniti punti. Qualcuno ha qualche suggerimento? Pensate siano sbagliate le risposte? Grazie mille in anticipo
Risposte
Ciao.
Data la funzione $f(x,y) = y^2 +3x^2 -x^3$ (mi permetterei di suggerire di dare un'occhiata alle [formule][/formule]), definibile su tutto lo spazio $RR^2$, si ha:
$vecnabla f(x,y)=((delf)/(delx)(x,y),(delf)/(dely)(x,y))=(6x-3x^2,2y)$
Punto A: la risposta è falsa, perchè il gradiente della funzione si annulla, come minimo, in $(0,0)$.
Punto B: il punto $(0,0)$ è punto stazionario, ma, (facendo qualche conto che lascio a te), si ha:
$|H(x,y)|=12*(1-x) Rightarrow |H(0,0)|=12>0$, con $(del^2f)/(delx^2)(x,y)=6-6x Rightarrow (del^2f)/(delx^2)(0,0)=6>0$
per cui si ha a che fare con un punto di minimo relativo, non di massimo.
Punto C: la risposta è vera, perchè $(delf)/(delx)(x,y)=6x-3x^2$ si annulla su tutti i punti del tipo $(0,y)$ oppure $(2,y)$ per tutti i valori reali di $y$.
Punto D: la risposta è falsa, perchè $vecnabla f(2,1)=(0,2)$.
Ulteriori delucidazioni.
Saluti.
Data la funzione $f(x,y) = y^2 +3x^2 -x^3$ (mi permetterei di suggerire di dare un'occhiata alle [formule][/formule]), definibile su tutto lo spazio $RR^2$, si ha:
$vecnabla f(x,y)=((delf)/(delx)(x,y),(delf)/(dely)(x,y))=(6x-3x^2,2y)$
Punto A: la risposta è falsa, perchè il gradiente della funzione si annulla, come minimo, in $(0,0)$.
Punto B: il punto $(0,0)$ è punto stazionario, ma, (facendo qualche conto che lascio a te), si ha:
$|H(x,y)|=12*(1-x) Rightarrow |H(0,0)|=12>0$, con $(del^2f)/(delx^2)(x,y)=6-6x Rightarrow (del^2f)/(delx^2)(0,0)=6>0$
per cui si ha a che fare con un punto di minimo relativo, non di massimo.
Punto C: la risposta è vera, perchè $(delf)/(delx)(x,y)=6x-3x^2$ si annulla su tutti i punti del tipo $(0,y)$ oppure $(2,y)$ per tutti i valori reali di $y$.
Punto D: la risposta è falsa, perchè $vecnabla f(2,1)=(0,2)$.
Ulteriori delucidazioni.
Saluti.
Ah ecco, quindi essendo che una componente si annulla automaticamente tutti gli infiniti punti di quel tipo saranno stazionari! Grazie 
Se alludi al punto C, sì.
Saluti.
Saluti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo