Dubbio su quadrica
salve a tutti,
non riesco a capire alcuni passaggi.
Ho il seguente fascio di quadriche: $x^2 +2hxy +y^2 +2hxz +2hyz +z^2 -1$.
La matrice $B$ associata alla quadrica è:
$((1,h,h,0),(h,1,h,0),(h,h,1,0),(0,0,0,-1))$
ora si ha che $|B| = -|A| = -(h-1)^2(2h +1)$
le quadriche degeneri sono per $h =1$ ed $h= -1/2$,
per $h =-1/2$ al professore viene un cilindro ellittico di vertice $(1,1,1,0)$ come ha fatto a trovarlo?
Quale è l'equazione che lo rappresenta?
ma se per $h = -1/2$ il determinante di $A$ è uguale a zero, quindi significa che il rango di $B$ è sempre $2$ ma dalla teoria sappiamo che i cilindri impongono che le matrici relative alle quadriche siano di rango $3$. Come è possibile?
Grazie a chi vorrà aiutarmi.
non riesco a capire alcuni passaggi.
Ho il seguente fascio di quadriche: $x^2 +2hxy +y^2 +2hxz +2hyz +z^2 -1$.
La matrice $B$ associata alla quadrica è:
$((1,h,h,0),(h,1,h,0),(h,h,1,0),(0,0,0,-1))$
ora si ha che $|B| = -|A| = -(h-1)^2(2h +1)$
le quadriche degeneri sono per $h =1$ ed $h= -1/2$,
per $h =-1/2$ al professore viene un cilindro ellittico di vertice $(1,1,1,0)$ come ha fatto a trovarlo?
Quale è l'equazione che lo rappresenta?
ma se per $h = -1/2$ il determinante di $A$ è uguale a zero, quindi significa che il rango di $B$ è sempre $2$ ma dalla teoria sappiamo che i cilindri impongono che le matrici relative alle quadriche siano di rango $3$. Come è possibile?
Grazie a chi vorrà aiutarmi.
Risposte
Ho visto sulla mia mail che vi era una risposta ma non la trovo. 
Purtroppo ieri non ho potuto controllare.
In ogni caso, ho visto che effettivamente il rango di $B$ per $h =1/2$ è uguale a $3$, basta orlare il minore partendo dal basso.
La teoria dice che quando ho una quadrica degenere ed il rango della matrice ad essa associata è $3$ allora posso avere coni o cilindri.
Il professore giunge alla conclusione che si tratta di un cilindro ellittico.
Mi chiedo come fa a stabilire che sia un cilindro?
Se è cilindro, il mio libro illustra che è elllittico quando la conica all'infinito è spezzata in due rette immaginarie coniugate.
Si stabilisce se la conica all'infinito è irriducibile o spezzata in due rette se il $det(A)$ è diverso o uguale a $0$. In questo caso ho che per $h = 1/2$ il det di $A$ è uguale a $0$. Ho trovato che la conica all'infinito è spezzata in due rette.
Come faccio a capire se sono immaginarie e coniugate?
Grazie a chi mi ha risposto (ma non trovo il messaggio) ed a gli altri.
Purtroppo ieri non ho potuto controllare.In ogni caso, ho visto che effettivamente il rango di $B$ per $h =1/2$ è uguale a $3$, basta orlare il minore partendo dal basso.
La teoria dice che quando ho una quadrica degenere ed il rango della matrice ad essa associata è $3$ allora posso avere coni o cilindri.
Il professore giunge alla conclusione che si tratta di un cilindro ellittico.
Mi chiedo come fa a stabilire che sia un cilindro?
Se è cilindro, il mio libro illustra che è elllittico quando la conica all'infinito è spezzata in due rette immaginarie coniugate.
Si stabilisce se la conica all'infinito è irriducibile o spezzata in due rette se il $det(A)$ è diverso o uguale a $0$. In questo caso ho che per $h = 1/2$ il det di $A$ è uguale a $0$. Ho trovato che la conica all'infinito è spezzata in due rette.
Come faccio a capire se sono immaginarie e coniugate?
Grazie a chi mi ha risposto (ma non trovo il messaggio) ed a gli altri.
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