Dubbio su matrici di rotazione
Salve a tutti.
A lezione ci è stato presentato un "modo" per ottenere una qualsiasi matrice di rotazione partendo da asse di rotazione e angolo. Tale procedimento consiste nei seguenti passi:
1. Se la retta attorno alla quale voglio fare ruotare non passa per il centro, la traslo nel centro. Se già passa per il centro salto al punto 2;
2.Scelgo una base ortonormale in modo tale che il vettore dello spazio direttore della retta sia fisso - cioè prendo tre vettori ortogonali tra loro (uno è appunto quello della giacitura della retta) e li normalizzo;
3.Scrivo la matrice di rotazione in questo nuovo sistema di riferimento e quindi torno alla base canonica con le matrici di cambio base;
4.Traslo il tutto al punto di partenza.
Faccio un esempio (invento sul momento):
in \(\displaystyle \mathbb{E}^{3} \) prendo la retta \(\displaystyle r:\begin{cases} x-y=0 \\ y+z=0 \end{cases} \) passante per l'origine (il mio dubbio non ha a che fare con le matrici di traslazione); voglio trovare la matrice di rotazione \(\displaystyle \rho \) di angolo \(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6} \) intorno a questa retta.
La mia base ortogonale (vado a occhio... Non mi servirò di Gram-Schmidt) sarà \[\displaystyle v_{1}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \text{ (giacitura della retta) }, v_{2}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ v_{3}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \] la base ortonormale \(\displaystyle \mathcal{W} \) sarà composta da queste schifezze: \[\displaystyle w_{1}=\frac{v_{1}}{\left \| v_{1} \right \|}=\begin{pmatrix}1/\sqrt{3} \\ 1/ \sqrt{3} \\ -1/\sqrt{3} \end{pmatrix}, \ w_{2}=\frac{v_{2}}{\left \| v_{2} \right \|}=\begin{pmatrix}1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}, \ w_{3}=\frac{v_{3}}{\left \| v_{3} \right \|}=\begin{pmatrix}1/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \end{pmatrix} \]
Ora: quello che deve rimanere fermo è il vettore \(\displaystyle w_{1} \) quindi la matrice di rotazione sarà \[\displaystyle R=\alpha_{\mathcal{W},\mathcal{W}}(\rho) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \] mentre la matrice di cambio base (evito di scrivere tutte le coordinate) \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{W},\mathcal{E}}(\text{id})=\begin{pmatrix} w_{1} & ? & ? \end{pmatrix} \]
Domande:
1. In che ordine metto i vettori \(\displaystyle w_{2} \) e \(\displaystyle w_{3} \) nella matrice di cambio base? E' indifferente?
2. Se avessi voluto ruotare attorno a \(\displaystyle w_{2} \), quale forma avrebbe assunto la matrice di rotazione? E quale quella di cambiamento di base?
Ringrazio anticipatamente.
A lezione ci è stato presentato un "modo" per ottenere una qualsiasi matrice di rotazione partendo da asse di rotazione e angolo. Tale procedimento consiste nei seguenti passi:
1. Se la retta attorno alla quale voglio fare ruotare non passa per il centro, la traslo nel centro. Se già passa per il centro salto al punto 2;
2.Scelgo una base ortonormale in modo tale che il vettore dello spazio direttore della retta sia fisso - cioè prendo tre vettori ortogonali tra loro (uno è appunto quello della giacitura della retta) e li normalizzo;
3.Scrivo la matrice di rotazione in questo nuovo sistema di riferimento e quindi torno alla base canonica con le matrici di cambio base;
4.Traslo il tutto al punto di partenza.
Faccio un esempio (invento sul momento):
in \(\displaystyle \mathbb{E}^{3} \) prendo la retta \(\displaystyle r:\begin{cases} x-y=0 \\ y+z=0 \end{cases} \) passante per l'origine (il mio dubbio non ha a che fare con le matrici di traslazione); voglio trovare la matrice di rotazione \(\displaystyle \rho \) di angolo \(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6} \) intorno a questa retta.
La mia base ortogonale (vado a occhio... Non mi servirò di Gram-Schmidt) sarà \[\displaystyle v_{1}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \text{ (giacitura della retta) }, v_{2}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ v_{3}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \] la base ortonormale \(\displaystyle \mathcal{W} \) sarà composta da queste schifezze: \[\displaystyle w_{1}=\frac{v_{1}}{\left \| v_{1} \right \|}=\begin{pmatrix}1/\sqrt{3} \\ 1/ \sqrt{3} \\ -1/\sqrt{3} \end{pmatrix}, \ w_{2}=\frac{v_{2}}{\left \| v_{2} \right \|}=\begin{pmatrix}1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}, \ w_{3}=\frac{v_{3}}{\left \| v_{3} \right \|}=\begin{pmatrix}1/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{6} \\ 2/\sqrt{6} \end{pmatrix} \]
Ora: quello che deve rimanere fermo è il vettore \(\displaystyle w_{1} \) quindi la matrice di rotazione sarà \[\displaystyle R=\alpha_{\mathcal{W},\mathcal{W}}(\rho) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \] mentre la matrice di cambio base (evito di scrivere tutte le coordinate) \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{W},\mathcal{E}}(\text{id})=\begin{pmatrix} w_{1} & ? & ? \end{pmatrix} \]
Domande:
1. In che ordine metto i vettori \(\displaystyle w_{2} \) e \(\displaystyle w_{3} \) nella matrice di cambio base? E' indifferente?
2. Se avessi voluto ruotare attorno a \(\displaystyle w_{2} \), quale forma avrebbe assunto la matrice di rotazione? E quale quella di cambiamento di base?
Ringrazio anticipatamente.
Risposte
La 1.
Devi fare attenzione a definire una cosiddetta terna destrosa, cioè in modo che $(w_1, w_2, w_3)$ siano ordinati come gli assi soliti x, y, z. Vedi "regola della mano destra". Un modo pratico di verificare è fare in modo che la matrice di cambio base abbia determinante positivo.
La tua terna è sinistrosa e va aggiustata.
La 2.
La rotazione attorno a $w_2$ è:
$((cos \theta, 0, sin \theta),(0,1,0),(-sin \theta,0, cos \theta))$
Poi non si capisce bene cosa intendi col "E quale quella di cambiamento di base?".
Se decidi di cambiare asse di rotazione, ok, ma la matrice di cambio base è sempre quella.
Altrimenti scambi $w_2$ e $w_1$ nella matrice.
Non è chiarissima la domanda.
Devi fare attenzione a definire una cosiddetta terna destrosa, cioè in modo che $(w_1, w_2, w_3)$ siano ordinati come gli assi soliti x, y, z. Vedi "regola della mano destra". Un modo pratico di verificare è fare in modo che la matrice di cambio base abbia determinante positivo.
La tua terna è sinistrosa e va aggiustata.
La 2.
La rotazione attorno a $w_2$ è:
$((cos \theta, 0, sin \theta),(0,1,0),(-sin \theta,0, cos \theta))$
Poi non si capisce bene cosa intendi col "E quale quella di cambiamento di base?".
Se decidi di cambiare asse di rotazione, ok, ma la matrice di cambio base è sempre quella.
Altrimenti scambi $w_2$ e $w_1$ nella matrice.
Non è chiarissima la domanda.
"Quinzio":
La 1.
Devi fare attenzione a definire una cosiddetta terna destrosa, cioè in modo che $(w_1, w_2, w_3)$ siano ordinati come gli assi soliti x, y, z. Vedi "regola della mano destra". Un modo pratico di verificare è fare in modo che la matrice di cambio base abbia determinante positivo.
La tua terna è sinistrosa e va aggiustata.
[...]
Quindi la matrice di cambio base dovrebbe essere (evito di scrivere per intero le coordinate) \(\displaystyle \begin{pmatrix}w_{1} & w_{3} & w_{2} \end{pmatrix} \) che ha determinante positivo, giusto?
"Quinzio":
La 2.
La rotazione attorno a $w_2$ è:
$((cos \theta, 0, sin \theta),(0,1,0),(-sin \theta,0, cos \theta))$
Poi non si capisce bene cosa intendi col "E quale quella di cambiamento di base?".
Se decidi di cambiare asse di rotazione, ok, ma la matrice di cambio base è sempre quella.
Altrimenti scambi $w_2$ e $w_1$ nella matrice.
Non è chiarissima la domanda.
Qui sono stato un po' oscuro perché in effetti non ho ben capito. La matrice che tu hai scritto è di rotazione attorno a \(\displaystyle w_{2} \), il che implica che \(\displaystyle w_{2} \) rimane fermo. Quindi vuol dire che la matrice di cambio di base dev'essere \(\displaystyle \begin{pmatrix}w_{3} & w_{2} & w_{1} \end{pmatrix} \) in virtù di quanto detto sopra. Dico male?
"Delirium":
[quote="Quinzio"]La 1.
Devi fare attenzione a definire una cosiddetta terna destrosa, cioè in modo che $(w_1, w_2, w_3)$ siano ordinati come gli assi soliti x, y, z. Vedi "regola della mano destra". Un modo pratico di verificare è fare in modo che la matrice di cambio base abbia determinante positivo.
La tua terna è sinistrosa e va aggiustata.
[...]
Quindi la matrice di cambio base dovrebbe essere (evito di scrivere per intero le coordinate) \(\displaystyle \begin{pmatrix}w_{1} & w_{3} & w_{2} \end{pmatrix} \) che ha determinante positivo, giusto?
[/quote]
Esatto !
"Quinzio":
La 2.
La rotazione attorno a $w_2$ è:
$((cos \theta, 0, sin \theta),(0,1,0),(-sin \theta,0, cos \theta))$
Poi non si capisce bene cosa intendi col "E quale quella di cambiamento di base?".
Se decidi di cambiare asse di rotazione, ok, ma la matrice di cambio base è sempre quella.
Altrimenti scambi $w_2$ e $w_1$ nella matrice.
Non è chiarissima la domanda.
Qui sono stato un po' oscuro perché in effetti non ho ben capito. La matrice che tu hai scritto è di rotazione attorno a \(\displaystyle w_{2} \), il che implica che \(\displaystyle w_{2} \) rimane fermo. Quindi vuol dire che la matrice di cambio di base dev'essere \(\displaystyle \begin{pmatrix}w_{3} & w_{2} & w_{1} \end{pmatrix} \) in virtù di quanto detto sopra. Dico male?
Si, ok. E' corretto però non vedo lo scopo.
Forse non ha uno scopo preciso...
Ti ringrazio, Quinzio!
In realtà mi pare di capire che sia tutto frutto della convenzione con la quale si sceglie di chiamare i vettori della base ortonormale. Se voglio ruotare attorno a \(\displaystyle w_{1} \) e scrivo la matrice di cambio base come \(\displaystyle \begin{pmatrix} w_{1} & w_{3} & w_{2} \end{pmatrix} \), allora la matrice di rotazione sarà \[\displaystyle \mathcal{R}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \]
Se poi voglio ruotare intorno a \(\displaystyle w_{2} \), o scrivo la matrice di cambio base come \(\displaystyle \begin{pmatrix} w_{2} & w_{1} & w_{3} \end{pmatrix} \) e tengo \(\displaystyle \mathcal{R} \) come matrice di rotazione, oppure tengo la prima matrice di cambiamento di base e scrivo \(\displaystyle \mathcal{R} \) come \[\displaystyle \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Dico male?
In realtà mi pare di capire che sia tutto frutto della convenzione con la quale si sceglie di chiamare i vettori della base ortonormale. Se voglio ruotare attorno a \(\displaystyle w_{1} \) e scrivo la matrice di cambio base come \(\displaystyle \begin{pmatrix} w_{1} & w_{3} & w_{2} \end{pmatrix} \), allora la matrice di rotazione sarà \[\displaystyle \mathcal{R}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \]
Se poi voglio ruotare intorno a \(\displaystyle w_{2} \), o scrivo la matrice di cambio base come \(\displaystyle \begin{pmatrix} w_{2} & w_{1} & w_{3} \end{pmatrix} \) e tengo \(\displaystyle \mathcal{R} \) come matrice di rotazione, oppure tengo la prima matrice di cambiamento di base e scrivo \(\displaystyle \mathcal{R} \) come \[\displaystyle \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Dico male?
Riporto in cima per aver conferma su quest'ultimo dubbio
Adesso mi è venuto un altro dubbio: nelle rotazioni attorno ad \(\displaystyle e_{2} \) noto che c'è parecchia ambiguità nello scegliere la matrice di rotazione. In particolare mi pare di capire che quando la rotazione è orientata da tale vettore, la matrice associata sia \[\displaystyle \begin{pmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix} \] mentre quando si parla genericamente di rotazione intorno all'asse di \(\displaystyle e_{2} \), la matrice è \[\displaystyle \begin{pmatrix} \cos \theta & 0 & -\sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix} \]
Facendo un disegnino mi sembra che la prima matrice rappresenti una rotazione in senso antiorario di angolo \(\displaystyle \theta \), mentre la seconda mi par che rappresenti una rotazione di angolo \(\displaystyle -\theta \) in senso orario o una rotazione di angolo \(\displaystyle \theta \) in senso antiorario ma intorno all'asse \(\displaystyle y \) con segno opposto (cioè intorno alla sottovarietà \(\displaystyle \lambda e_{2} \ , \ \lambda < 0 \)).
Inoltre il professore aveva detto che l'ambiguità si presenta solo nelle rotazioni orientate da \(\displaystyle e_{2} \), ma io non riesco proprio a capire il motivo.
Insomma, quando si parla di rotazioni generiche intorno ad un asse, posso fare come voglio ("procedimento" sopra)... Ma quando ci sono delle rotazioni orientate...? Quali precauzioni devo prendere?
Siccome spesso nei compiti viene richiesto di determinare composizioni tra varie isometrie, un segno può fare la differenza, e voglio capire a fondo la questione.
Invoco vostre delucidazioni.
Ringrazio anticipatamente.
Facendo un disegnino mi sembra che la prima matrice rappresenti una rotazione in senso antiorario di angolo \(\displaystyle \theta \), mentre la seconda mi par che rappresenti una rotazione di angolo \(\displaystyle -\theta \) in senso orario o una rotazione di angolo \(\displaystyle \theta \) in senso antiorario ma intorno all'asse \(\displaystyle y \) con segno opposto (cioè intorno alla sottovarietà \(\displaystyle \lambda e_{2} \ , \ \lambda < 0 \)).
Inoltre il professore aveva detto che l'ambiguità si presenta solo nelle rotazioni orientate da \(\displaystyle e_{2} \), ma io non riesco proprio a capire il motivo.
Insomma, quando si parla di rotazioni generiche intorno ad un asse, posso fare come voglio ("procedimento" sopra)... Ma quando ci sono delle rotazioni orientate...? Quali precauzioni devo prendere?
Siccome spesso nei compiti viene richiesto di determinare composizioni tra varie isometrie, un segno può fare la differenza, e voglio capire a fondo la questione.
Invoco vostre delucidazioni.
Ringrazio anticipatamente.
Se qualcun altro vuole intervenire non ci sono problemi, ovviamente.
Io sono con un portatile e una connessione internet a prestito, perchè sono mezzo sfollato anch'io causa terremoto, quindi mi connetto quando posso.
Appena posso torno volentieri su questo argomento.
Io sono con un portatile e una connessione internet a prestito, perchè sono mezzo sfollato anch'io causa terremoto, quindi mi connetto quando posso.
Appena posso torno volentieri su questo argomento.
"Delirium":
Insomma, quando si parla di rotazioni generiche intorno ad un asse, posso fare come voglio ("procedimento" sopra)... Ma quando ci sono delle rotazioni orientate...? Quali precauzioni devo prendere?
Siccome spesso nei compiti viene richiesto di determinare composizioni tra varie isometrie, un segno può fare la differenza, e voglio capire a fondo la questione.
Infatti.... personalmente credo che sia meglio trovare una "procedura" standard, che non tiri in ballo dei segni, e poi lasciare che sia l'algebra ad occuparsi dei segni giusti. Anche queste rotazioni sono in fondo dei cambi di base e vedo che i cambi di base provocano diversa confusione, anche comprensibilmente. Anche la "tutor" a cui faccio riferimento per il mio corso a distanza dice che i cambi di base "non gli piacciono" molto, perchè appunto non ci trova un senso intuitivo e quindi non riesce a ricavare le (semplici) formule, se non andando a memoria. Mah...
In realtà secondo me la faccenda si risolve abbastanza bene avendo presente solo queste due formule:
$B\ M_(BB')= B'$
$X = M_(BB') X'$
dove $B$ e $B'$ sono due matrici con i vettori della base scritti in colonna e $X$, $X'$ sono le componenti di vettori generici scritti nelle rispettive basi.
Se noti, c'è un ordine, un flusso con cui compaiono i simboli con apice e senza apice. I simboli con apice sono tutti a destra. C'è ancora ambiguità per determinare se la matrice di cambio base debba "moltiplicare a destra" o a sinistra, ma anche qui con una piccola analogia si chiariscono i dubbi.
Esempio: misuro il tempo nella base secondi $S$. Voglio passare alla base ore $H$. Per fare un'ora servono 3600 secondi, dunque la matrice di cambio base, matrice 1x1, è $M_(SH)=(3600)$.
Quindi $S\ M_(SH)= H$, ma $[X]_S = M_(SH) [X]_H$.
Quindi, mettendo insieme 3600 secondi faccio un'ora, ma se ho un tempo misurato in secondi, non devo moltiplicare per 3600 per avere lo stesso tempo espresso in ore. Ovvio, no ?
Viceversa, moltiplico un tempo in ore per 3600 per ottenere lo stesso tempo misurato in secondi.
Quindi torniamo alle rotazioni.
Quello che "ruota" è la base... non un generico vettore espresso nella base. E le rotazioni sono TUTTE in senso antiorario. Che è il senso convenzionale di una terna destrosa. Fine. Se ogni volta si cambiano convenzioni e versi, non se ne esce più.
Se si ruota LA BASE attorno a $z$, la punta dell'asse $x$, ruota verso la punta di $y$, non il contrario.
Se si ruota attorno a y, la punta di z ruota verso la punta di x (basta permutare le lettere).
Quindi:
$M_(BB')=((cos \phi, -sin \phi, 0),(sin \phi, cos \phi, 0),(0,0,1))$
è una rotazione della base di un angolo $\phi$ attorno all'asse z.
Fine. Tutto il resto è algebra.
Questa
$((cos \phi, sin \phi, 0),(-sin \phi, cos \phi, 0),(0,0,1))$
è la matrice inversa di $M_(BB')$ cioè $M_(B'B)$,ma a me non piace pensare in termini di "inversa della matrice", ragiono in termini della matrice "diretta" e se poi devo calcolare l'inversa, lo faccio, ma lascio all'algebra (ancora meglio a un PC) l'onere di fare l'inversa.
Tornando all'esempio di prima, se per esprimere un tempo da ore a secondi, moltiplico per 3600, ma se devo passare da secondi a ore (vettori), devo moltiplicare per l'inversa cioè $3600^(-1)= 0.000277777....$.
Ma è non intuitivo usare quel numero frazionario, viceversa è molto intuitivo che per fare un'ora servono 3600 secondi.
Spero che sia stato un po' utile....
Ti ringrazio Quinzio, soprattutto per l'impegno che hai messo nello scrivere questa risposta nella situazione in cui ti trovi.
Tornando a monte, ho fatto un giro per la rete e ne ho trovate una po' di tutti i colori: c'è chi prende solo vettori orientati, chi ruota il vettore, chi ruota il sistema di riferimento... Insomma, una gran confusione. A me non serve la formula, voglio soltanto aver chiaro il caso generale, per poi adattarlo al particolare. Siccome ho notato questa baraonda, seguo (chiaramente) le convenzioni del mio professore, ma proprio da lì parte la perplessità: in questa risoluzione di esercizio (es. 2 - punto (a), compito del 16 marzo 2010) si comporta come tu dici: scrive la matrice di rotazione e poi cambia la base. In quest'altra risoluzione (es. 3 - punto (b), compito dell'8 luglio 2011) invece trova sempre la rotazione intorno ad \(\displaystyle e_{2} \), ma la matrice è la trasposta rispetto a quell'altra! Come lo spieghi? A meno di refusi non trovo differenze tra le due consegne...
Tornando a monte, ho fatto un giro per la rete e ne ho trovate una po' di tutti i colori: c'è chi prende solo vettori orientati, chi ruota il vettore, chi ruota il sistema di riferimento... Insomma, una gran confusione. A me non serve la formula, voglio soltanto aver chiaro il caso generale, per poi adattarlo al particolare. Siccome ho notato questa baraonda, seguo (chiaramente) le convenzioni del mio professore, ma proprio da lì parte la perplessità: in questa risoluzione di esercizio (es. 2 - punto (a), compito del 16 marzo 2010) si comporta come tu dici: scrive la matrice di rotazione e poi cambia la base. In quest'altra risoluzione (es. 3 - punto (b), compito dell'8 luglio 2011) invece trova sempre la rotazione intorno ad \(\displaystyle e_{2} \), ma la matrice è la trasposta rispetto a quell'altra! Come lo spieghi? A meno di refusi non trovo differenze tra le due consegne...
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