Dubbio su matrici associate a un'applicazione
In $RR^(4)$ ho 3 vettori:
$u=(2,0,1,1)$ , $v=(0,1,3,1)$, $w=(0,1,0,1)$
Sia $f$ l'applicazione lineare di $V=$ in $RR^(4)$ tale che:
$f(u)=u+2w$
$f(v)=e_1+2e_2+7e_3+3e_4$
$f(w)=-v$
Scrivere la matrice $M^(C,B)(f)$, dove $C=(u,v,w)$ e $B=(e_1,e_2,e_3)$. L'applicazione f è iniettiva?
Allora io mi sono trovata $f(u)$ e $f(w)$ in funzione della base B così ho ottenuto la matrice: $M^(C,B)=((2,1,0),(2,2,-1),(1,7,-3),(3,3,-1))$ e la matrice dovrebbe essere corretta perchè anche alle soluzioni è riportata questa. Solo che mi sto chiedendo come mai è una matrice 4x3...non dovrebbe essere 4x4 visto che sia il dominio che il codominio stanno in $RR^(4)$?Forse il problema è che la matrice è nelle basi B e C, mentre dovrebbe essere presente solo una base invece per ottenere la matrice dell'applicazione?E se così fosse come faccio a trovarmi la matrice riferita solo a B?Scusate so che ho scritto un po' troppo...spero che riuscirete ad aiutarmi lo stesso...
$u=(2,0,1,1)$ , $v=(0,1,3,1)$, $w=(0,1,0,1)$
Sia $f$ l'applicazione lineare di $V=
$f(u)=u+2w$
$f(v)=e_1+2e_2+7e_3+3e_4$
$f(w)=-v$
Scrivere la matrice $M^(C,B)(f)$, dove $C=(u,v,w)$ e $B=(e_1,e_2,e_3)$. L'applicazione f è iniettiva?
Allora io mi sono trovata $f(u)$ e $f(w)$ in funzione della base B così ho ottenuto la matrice: $M^(C,B)=((2,1,0),(2,2,-1),(1,7,-3),(3,3,-1))$ e la matrice dovrebbe essere corretta perchè anche alle soluzioni è riportata questa. Solo che mi sto chiedendo come mai è una matrice 4x3...non dovrebbe essere 4x4 visto che sia il dominio che il codominio stanno in $RR^(4)$?Forse il problema è che la matrice è nelle basi B e C, mentre dovrebbe essere presente solo una base invece per ottenere la matrice dell'applicazione?E se così fosse come faccio a trovarmi la matrice riferita solo a B?Scusate so che ho scritto un po' troppo...spero che riuscirete ad aiutarmi lo stesso...
Risposte
Assolutamente no!!!!!:
1)la matrice associata non può essere 4x3 visto che è una applicazione lineare di $R^4$ in $R^4$.
2)i tuoi vettori non formano una base, visto che sicuramente una base di $R^4$ è formata da 4 vettori; al più, possono formare una sottobase (devi vedere se sono indipendenti); se la formano puoi scegliere uno dei vettori della base canonica per completare la sottobase in una base; altrimenti devi costruirti una base nuova base o partendo da due vettori indipendenti o cercanto direttamente le immagini mediante f dei vettori della base canonica.
Io ti consiglio, se sei alle prime armi di partire da una base canonica.
Ti do un input; sai che ogni elemento di uno spazio vettoriale può essere scritto come combinazione lineare dei vettori di una base; così dunque dovrebbe accadere anche per i vettori che hai....
1)la matrice associata non può essere 4x3 visto che è una applicazione lineare di $R^4$ in $R^4$.
2)i tuoi vettori non formano una base, visto che sicuramente una base di $R^4$ è formata da 4 vettori; al più, possono formare una sottobase (devi vedere se sono indipendenti); se la formano puoi scegliere uno dei vettori della base canonica per completare la sottobase in una base; altrimenti devi costruirti una base nuova base o partendo da due vettori indipendenti o cercanto direttamente le immagini mediante f dei vettori della base canonica.
Io ti consiglio, se sei alle prime armi di partire da una base canonica.
Ti do un input; sai che ogni elemento di uno spazio vettoriale può essere scritto come combinazione lineare dei vettori di una base; così dunque dovrebbe accadere anche per i vettori che hai....
Ed è infatti per quel motivo che mi è sorto il dubbio...Allora ho scelto la base: $C={(2,0,1,1),(0,1,3,1),(0,1,0,1),(1,0,0,0)}$. Quindi ho:
$f(u)=f(2e_1+e_3+e_4)=2e_1+2e_2+e_3+3e_4$
$f(v)=f(e_2+3e_3+e_4)=e_1+2e_2+7e_3+3e_4$
$f(w)=f(e_2+e_4)=-e_2-3e_3-e_4$
E poi $f(e_1)$ come faccio a sapere quanto vale...?è linearmente indipendente dalle altre 3 quindi non posso saperlo....ora come vado avanti..?
$f(u)=f(2e_1+e_3+e_4)=2e_1+2e_2+e_3+3e_4$
$f(v)=f(e_2+3e_3+e_4)=e_1+2e_2+7e_3+3e_4$
$f(w)=f(e_2+e_4)=-e_2-3e_3-e_4$
E poi $f(e_1)$ come faccio a sapere quanto vale...?è linearmente indipendente dalle altre 3 quindi non posso saperlo....ora come vado avanti..?
Posso aggiungere nel sistema $f(u+w)=f(2e_1,e_2,4e_3,2e_4)=3e_1+4e_2+8e_3+6_4$? Così ottengo la quarta equazione che mi serve e risolvere il sistema...
Aoolutamente no, i vettori che prendi non puoi scegliere a caso i vettori; questi devono essere tra loro linearmente indipendenti; mentre il vettore che hai scelto tu è somma di due vettori e quindi in sostanza i tre sono dipendenti.
Nota sull'esercizio: il problema ti dice che devi considerare una base C e B di tre vettori, quindi in effetti vai da $R^4$ in $R^3$ e non da $R^4$ in $R^4$.
Nota sull'esercizio: il problema ti dice che devi considerare una base C e B di tre vettori, quindi in effetti vai da $R^4$ in $R^3$ e non da $R^4$ in $R^4$.
Ok...fa come se non avessi scritto l'ultimo post...
!però la base C è corretta...i vettori sono linearmente indipendenti....ma cosa me ne faccio..?
!però la base C è corretta...i vettori sono linearmente indipendenti....ma cosa me ne faccio..?
Fanne le immagini mediante la f; scrivi le immagini come combinazione lineare della base che hai scelto in $R^3$ e riscrivi la matrice associata le cui colonne sono le componenti delle immagini nella base del codominio.
Ti consiglio di vedere qui: è spiegato molto bene:
https://www.matematicamente.it/forum/alg ... 45434.html.
Vorrei farti delle precisazioni: le basi del dominio e del codominio possono essere anche diverse; non è importante; ciò che conta è che poi devi scrivere tutti i vettori come combinazione lineare dei vettori della base; non puoi scrivere la matrice solo di una base, a meno che nel codominio e nel codomio non sia la stessa; in sostanza consideri sempre due basi.
Spero di esserti stato d'aiuto. Ciauz
Ti consiglio di vedere qui: è spiegato molto bene:
https://www.matematicamente.it/forum/alg ... 45434.html.
Vorrei farti delle precisazioni: le basi del dominio e del codominio possono essere anche diverse; non è importante; ciò che conta è che poi devi scrivere tutti i vettori come combinazione lineare dei vettori della base; non puoi scrivere la matrice solo di una base, a meno che nel codominio e nel codomio non sia la stessa; in sostanza consideri sempre due basi.
Spero di esserti stato d'aiuto. Ciauz
Ciò che ho fatto fin dall'inizio allora...?quindi la matrice era esatta...?e ora come faccio a dire che è iniettiva?A me sembra impossibile che possa esserlo visto che il rango della matrice non potrà mai essere 4....
Grazie mille....questo particolare mi sfuggiva...!!
Ho capito...l'applicazione va da$RR^(3)$ a $RR^(4)$ e non viceversa...quindi per far si che sia iniettiva basta controllare che il rango di quella matrice sia 3. Grazie mille...senza il tuo aiuto non ci sarei mai arrivata...
No, i vettori sono presi in $R^4$; il fatto è che la tua applicazione va da un sottospazio di $R^4$ che è V e mandati in un sottospazio di $R^3$, il che non è irrilevante.
Dovresti adesso ragionare sul rango e quindi otterresti effetivamente rango 3.
Dovresti adesso ragionare sul rango e quindi otterresti effetivamente rango 3.
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