Dubbio su matrice Hessiana

[zampir]

Ciao ragazzi,

ho bisogno di un aiuto perché mi sono perso un attimo:
Il mio libro afferma:
-condizione necessaria per un minimo locale è la matrice Hessiana semidefinita positiva.
e afferma dopo dimostrando
-se una matrice Hessiana è definita positiva => ho un punto di minimo locale

Ora mettendo assieme le due cose:
Se ho Hessiana definita positiva => x=min loc.=> H semidefinita positiva
Contraddizione
perché una matrice è semidefinita positiva se ha autovalori tutti positivi e almeno uno nullo, metre una matrice è definita positiva se ha tutti gli autovalori positivi (strettamente)

Non capisco dove mi intorto.
Grazie.

[Trilogy]

"zampir":Contraddizione
perché una matrice è semidefinita positiva se ha autovalori tutti positivi e almeno uno nullo, metre una matrice è definita positiva se ha tutti gli autovalori positivi (strettamente)

Non capisco dove mi intorto.

Io controllerei bene questa faccenda degli autovalori. Cerca i teoremi che hai al riguardo e controlla in che direzione vanno le implicazioni.

[zampir]

Ho guardato su appunti e testo e vanno proprio in quella direzione. O sbaglio qualcosa, ad esempio che nella classe semidefinite positive vi sia anche come sottoclasse quella delle matrici definite positive. Ma non mi pare

[Trilogy]

Quando dici "A se B", l'implicazione è $B\Rightarrow A$.

Quando dici "tutti positivi e almeno uno nullo" intendi "tutti non-negativi e almeno uno nullo"? Per il momento suppongo di sì.

La frase "una matrice è semidefinita positiva se ha autovalori tutti positivi e almeno uno nullo" significa "Se una matrice ha autovalori tutti non-negativi e almeno uno nullo, allora è semidefinita positiva".

Siamo d'accordo?

[zampir]

Sì sono d'accordo, ma non ho capito dove vuoi arrivare

[Trilogy]

(1) Se una matrice ha gli autovalori fatti in un certo modo, allora è definita positiva. (2) Se sono fatti in un certo altro modo, allora è definita positiva.

Questi sono i teoremi che hai.

In più hai notato che (3) se una matrice è definita positiva, allora è semidefinita positiva.

Prova a disegnare su un foglio le varie cose e fare attenzione alle direzioni delle implicazioni. Cioè disegni una palla con scritto "autovalori tutti positivi", una palla con scritto "autovalori non-negativi e almeno uno nullo", una palla con scritto "matrice definita positiva" e una palla con scritto "matrice semidefinita positiva". Poi disegni le frecce delle implicazioni che uniscono le palle.

(Questo è il modo in cui io ho imparato certi teoremi sui vari tipi di convergenza, anche lì c'erano implicazioni che apparentemente sembravano contraddittorie, ma solo perché avevo capito male le implicazioni.)