Dubbio su invertibilità e immagini inverse di un omomorfismo
Salve ragazzi, pur essendo un appassionato lettore, questo è il mio primo post qui sul forum. Studiando per Geometria e Algebra lineare, mi sono imbattuto in un esercizio riguardante un omomorfismo da $ cc(R)^(4) rarr cc(R)^(2) $ così definito:
[tex]$$\phi$$[/tex] $ (x,y,z,w) = (x-y+2z-w, -x+y-2z+w) $
Viene ora richiesta l'immagine inversa del vettore $ w = (2,-2) $. Ed è qui che mi è sorto un dubbio sull'invertibilità di un omomorfismo: l'applicazione su definita non è invertibile in quanto il teorema della dimensione ci assicura che non sia biettiva, tuttavia essa ammette un'insieme (non essendo iniettiva) di immagini inverse per il vettore $ w $, dato dalle soluzioni del sistema
$ { ( x-y+2z-w = 2 ),( -x+y-2z+w = -2 ):} rArr { ( 2+y-2z+w,y , z, w ) | y,z,w in cc(R) } $
è corretto questo ragionamento? Cioè, nonostante l'applicazione lineare non sia invertibile, esiste l'immagine inversa di taluni elementi in $ cc(R)^(2) $, onde, generalizzando, l'omomorfismo [tex]$$\phi$$[/tex] $ : V rarr W $ è invertibile se e solo se $ dimV = dimW $ ?
Grazie in anticipo per il chiarimento.
[tex]$$\phi$$[/tex] $ (x,y,z,w) = (x-y+2z-w, -x+y-2z+w) $
Viene ora richiesta l'immagine inversa del vettore $ w = (2,-2) $. Ed è qui che mi è sorto un dubbio sull'invertibilità di un omomorfismo: l'applicazione su definita non è invertibile in quanto il teorema della dimensione ci assicura che non sia biettiva, tuttavia essa ammette un'insieme (non essendo iniettiva) di immagini inverse per il vettore $ w $, dato dalle soluzioni del sistema
$ { ( x-y+2z-w = 2 ),( -x+y-2z+w = -2 ):} rArr { ( 2+y-2z+w,y , z, w ) | y,z,w in cc(R) } $
è corretto questo ragionamento? Cioè, nonostante l'applicazione lineare non sia invertibile, esiste l'immagine inversa di taluni elementi in $ cc(R)^(2) $, onde, generalizzando, l'omomorfismo [tex]$$\phi$$[/tex] $ : V rarr W $ è invertibile se e solo se $ dimV = dimW $ ?
Grazie in anticipo per il chiarimento.
Risposte
In realtà il concetto di immagine inversa di un elemento è indipendente dal fatto che si stia parlando di omomorfismi di spazi vettoriali.
Data una qualsiasi funzione [tex]f:A\to B[/tex], puoi parlare di immagine inversa di un elemento [tex]y\in B[/tex]. E' l'insieme degli elementi definito da
[tex]f^{-1}(y)=\{x\in A:\,f(x)=y\}[/tex].
Nota che non serve che l'applicazione sia invertibile! Certo, questo insieme può essere anche vuoto, ma si può sempre definire.
L'insieme che tu cerchi è
[tex]\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4:\,\phi(x,y,z,w)=(2,-2)\}[/tex]
che, come giustamente hai detto tu, è dato da
[tex]\{(2+y-2z+w,y,z,w):\,y,z,w\in\mathbb{R}\}[/tex]
Non di "taluni", ma esiste l'immagine inversa di tutti gli elementi. Se l'applicazione non è surgettiva tale immagine inversa può essere anche vuota, ma comunque esiste!
No, questa conclusione è falsa!
P.S. Benvenuto nel forum e buona permanenza!
Data una qualsiasi funzione [tex]f:A\to B[/tex], puoi parlare di immagine inversa di un elemento [tex]y\in B[/tex]. E' l'insieme degli elementi definito da
[tex]f^{-1}(y)=\{x\in A:\,f(x)=y\}[/tex].
Nota che non serve che l'applicazione sia invertibile! Certo, questo insieme può essere anche vuoto, ma si può sempre definire.
L'insieme che tu cerchi è
[tex]\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4:\,\phi(x,y,z,w)=(2,-2)\}[/tex]
che, come giustamente hai detto tu, è dato da
[tex]\{(2+y-2z+w,y,z,w):\,y,z,w\in\mathbb{R}\}[/tex]
"Omen":
Cioè, nonostante l'applicazione lineare non sia invertibile, esiste l'immagine inversa di taluni elementi in $ cc(R)^(2) $
Non di "taluni", ma esiste l'immagine inversa di tutti gli elementi. Se l'applicazione non è surgettiva tale immagine inversa può essere anche vuota, ma comunque esiste!
"Omen":
onde, generalizzando, l'omomorfismo [tex]$$\phi$$[/tex] $ : V rarr W $ è invertibile se e solo se $ dimV = dimW $ ?
No, questa conclusione è falsa!
P.S. Benvenuto nel forum e buona permanenza!
Ciao cirasa, grazie per la risposta e per il benvenuto: davvero gentilissimo
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