Dubbio su intersezione tra sottospazi:
Buongiorno a tutti, eccomi con un nuovo dubbio:
Ho due sottospazi vettoriali. Devo trovarmi una base di$ U$ intersecato $W$. Il primo sottospazio vettoriale è scritto già come rappresentazione cartesiana, mentre il secondo lo scrivo io in rappresentazione cartesiana. Trovo che il secondo la rappresentazione è 0, ora come procedo? considero solo quella del primo sottospazio?
Ho due sottospazi vettoriali. Devo trovarmi una base di$ U$ intersecato $W$. Il primo sottospazio vettoriale è scritto già come rappresentazione cartesiana, mentre il secondo lo scrivo io in rappresentazione cartesiana. Trovo che il secondo la rappresentazione è 0, ora come procedo? considero solo quella del primo sottospazio?
Risposte
Cioè, hai trovato che $W={ul0}$? Beh, allora $U nn W= {ul0}$
Giusto! grazie mille! invece se voglio trovarmi una base di uno spazio vettoriale, sapendo che$ U=$
$(x,y,z,w)$ in $R^4$ :$ y=0$ , $x+z=0$ , ho provato a fare così:
$y=0$
$x=-z $
Una generica base è data da:$ (-z,0,z,t) $ora come faccio? se pongo$ z=0$ , $t=1$ e poi viceversa ottengo una base composta da due vettori e non uno solo come leggo dai miei appunti del corso...
$(x,y,z,w)$ in $R^4$ :$ y=0$ , $x+z=0$ , ho provato a fare così:
$y=0$
$x=-z $
Una generica base è data da:$ (-z,0,z,t) $ora come faccio? se pongo$ z=0$ , $t=1$ e poi viceversa ottengo una base composta da due vettori e non uno solo come leggo dai miei appunti del corso...
"Magister":
Una generica base è data da:$ (-z,0,z,t) $ora come faccio?
Be', non proprio ... Il vettore
\[ \begin{bmatrix} -z \\ 0 \\ z \\ t \end{bmatrix} \qquad \forall z, \, t \in \mathbb{K} \]
e' il generico vettore di \( U \) --non una sua base.
Per fornire un set che funzioni da base per uno spazio vettoriale, devi avere un insieme \( \mathcal{B} \) (anche costrituito da un solo oggetto) che ti permetta di ottenere tutti gli elementi di \( U \) combinando linearmente i vettori che contiene \( \mathcal{B} \).
La base che fornisci da quali vettori sarebbe costituita?
`Supponiamo' \( U \) sia uno spazio di dimensione \( 2 \) --dunque che usando come ingredienti due raggi laser che si interesecano (due vettori che non stanno sulla stessa retta) riesco a generarlo tutto --, siano questi \( \mathbf{u}_1 \) e \( \mathbf{u}_2 \). Sapresti trovarli?
Come esprimeresti --in termini dei due vettori di cui sopra-- l'oggetto
\[ \mathbf{u} := \begin{bmatrix} 36 \\ 0 \\ -36 \\ 739 \end{bmatrix} \]
?
(Ti faccio notare, che come osservavi tu sopra, \( \mathbf{u} \) sta chiaramente in \( U \): basta assegnare \( z \equiv -36\), \( t \equiv 739\)).
Ho capito , grazie mille dell'aiuto !!! nel mio caso una generica base di $U$ è :$ (-z,0,z,0) $ e ponendo $z=1$ perchè $z=0$ avrei il vettore nullo e non crea una base, avrei $Bu=(-1,0,1,0).$ p.s: l'accortenza era di non avere$ t,$ quindi $t=0$.
... ah. Quindi stai dicendo che una base di \( U \) e' \( \mathcal{B} = \{ \mathbf{u}_1 \} \), con
\[ \mathbf{u}_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]
giusto?
Quindi tutti i vettori di \( U \) sono multipli di \( \mathbf{u}_1 \). Allora qual e' lo scalare \( \alpha \) per cui hai
\[ \begin{bmatrix} 36 \\ 0 \\ -36 \\ 739 \end{bmatrix} = \alpha \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]
?
\[ \mathbf{u}_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]
giusto?
Quindi tutti i vettori di \( U \) sono multipli di \( \mathbf{u}_1 \). Allora qual e' lo scalare \( \alpha \) per cui hai
\[ \begin{bmatrix} 36 \\ 0 \\ -36 \\ 739 \end{bmatrix} = \alpha \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]
?
Mmh non c'è..
Allora mi sa che \( \mathcal{B} = \{ \mathbf{u}_1 \} \) non genera tutto lo spazio ...
Sono d'accordo con te quando dici che il generico vettore si scrive
\[ \begin{bmatrix} -z \\ 0 \\ z \\ t \end{bmatrix} \qquad \forall z, \, t \in \mathbb{K} \]
ma se non ti da fastidio vorrei scriverlo cosi
\[ z \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \qquad \forall z, \, t \in \mathbb{K} \]
Ti ricordo la definizione di base (per spazi vettoriali di dimensione \( 2 \)): un insieme \( \mathcal{B} = \{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2 \} \) di vettori (linearmente indipendenti, ok, va bene, si', ma sticazzi ora) tale che tutti e soli i vettori dello spazio sono combinazioni lineari delle palline che stanno in \( \mathcal{B} \); cioe'
\[ \forall \mathbf{u} \in U, \; \exists (z, t) \in \mathbb{K} \times \mathbb{K} \; : \; \mathbf{u} = z \cdot \mathbf{u}_1 + t \cdot \mathbf{u}_2 \]
Viene in mente nulla?...
Sono d'accordo con te quando dici che il generico vettore si scrive
\[ \begin{bmatrix} -z \\ 0 \\ z \\ t \end{bmatrix} \qquad \forall z, \, t \in \mathbb{K} \]
ma se non ti da fastidio vorrei scriverlo cosi
\[ z \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \qquad \forall z, \, t \in \mathbb{K} \]
Ti ricordo la definizione di base (per spazi vettoriali di dimensione \( 2 \)): un insieme \( \mathcal{B} = \{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2 \} \) di vettori (linearmente indipendenti, ok, va bene, si', ma sticazzi ora) tale che tutti e soli i vettori dello spazio sono combinazioni lineari delle palline che stanno in \( \mathcal{B} \); cioe'
\[ \forall \mathbf{u} \in U, \; \exists (z, t) \in \mathbb{K} \times \mathbb{K} \; : \; \mathbf{u} = z \cdot \mathbf{u}_1 + t \cdot \mathbf{u}_2 \]
Viene in mente nulla?...
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