Dubbio su geometria dello spazio e indipendenza di vettori.
Ciao a tutti, vi scrivo perchè mi trovo in difficoltà su un paio di concetti.
Il primo, riguardante la geometria dello spazio, ve lo esprimo per mezzo di un'esercizio che non mi torna.
Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale si considerino i vettori $u=( ( 1 ),( 2 ),( 0 ) ) $ e $v=( ( 2 ),( 1 ),( 1 ) ) $.
Una rappresentazione della retta perpendicolare a $span(u,v)$ e passante per l'origine è... ($x-y+z=x+2y=0$).
Ho seguito questo ragionamento. Lo span di due vettori lo posso pensare come un piano, quindi ho trovato la rappresentazione parametrica del piano passante per u,v e l'origine. Poi per trovare la retta perpendicolare al piano trovato ho imposto alla retta la direzione normale del piano, ma i conti poi non tornano. E' un errore di concetto oppure probabilmente nei conti?
Il secondo dubbio riguarda su come stabilire l'indipendenza di una lista di vettori. Spesso la nostra insegnante ci diceva di guardare "a occhio" se uno poteva essere una combinazione lineare dell'altro, ma questo quando la lista è lunga, è difficile da notare. Che metodo mi consigliate per evitare errori? Sò che si può vedere, per esempio il rango della matrice formata dei vettori o impostare un sistema con dei parametri.
Grazie mille, ciao
....
Il primo, riguardante la geometria dello spazio, ve lo esprimo per mezzo di un'esercizio che non mi torna.
Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale si considerino i vettori $u=( ( 1 ),( 2 ),( 0 ) ) $ e $v=( ( 2 ),( 1 ),( 1 ) ) $.
Una rappresentazione della retta perpendicolare a $span(u,v)$ e passante per l'origine è... ($x-y+z=x+2y=0$).
Ho seguito questo ragionamento. Lo span di due vettori lo posso pensare come un piano, quindi ho trovato la rappresentazione parametrica del piano passante per u,v e l'origine. Poi per trovare la retta perpendicolare al piano trovato ho imposto alla retta la direzione normale del piano, ma i conti poi non tornano. E' un errore di concetto oppure probabilmente nei conti?
Il secondo dubbio riguarda su come stabilire l'indipendenza di una lista di vettori. Spesso la nostra insegnante ci diceva di guardare "a occhio" se uno poteva essere una combinazione lineare dell'altro, ma questo quando la lista è lunga, è difficile da notare. Che metodo mi consigliate per evitare errori? Sò che si può vedere, per esempio il rango della matrice formata dei vettori o impostare un sistema con dei parametri.
Grazie mille, ciao
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Risposte
"lo92muse":
i conti poi non tornano.
Se la retta è perpendicolare al piano è necessario e sufficiente che la sua direzione sia perpendicolare ai vettori della base \(\{\mathbf{u},\mathbf{v}\}\), quindi che le sue componenti (rispetto alla base standard) risolvano il sistema omogeneo
\[\begin{pmatrix}1&2&0\\2&1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\]
Sottrai la prima riga alla seconda e trovi un sistema equivalente...
"lo92muse":
impostare un sistema con dei parametri.
Sì, un sistema omogeneo: sono indipendenti se e solo se ha un'unica soluzione.
Altri metodi non ti saprei consigliare, ma magari altri ne hanno (e la cosa interessa anche me)...
Ciao!
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