Dubbio su funzioni continue in Hausdorff
Salve a tutti...studiando ho fatto un'ossevazione, secondo me molto importante, ma che non trovo in nessun libro, quindi potrebbe essere sbagliata...sapreste confermarla?
Sia $f:X->Y$ un'applicazione continua e tale che $X$ e $Y$ siano Hausdorff. So che la compattezza si mantiene per funzioni continue, quindi se prendo un compatto $A in X$ sono sicura che $f(A)$ è un compatto. Ma so che compatti in Hausdorff sono chiusi, quindi $f$ è chiusa perchè manda tutti i chiusi in chiusi? A me pare che il ragionamento fili....Vi ringrazio se mi dite la vostra al riguardo...
Sia $f:X->Y$ un'applicazione continua e tale che $X$ e $Y$ siano Hausdorff. So che la compattezza si mantiene per funzioni continue, quindi se prendo un compatto $A in X$ sono sicura che $f(A)$ è un compatto. Ma so che compatti in Hausdorff sono chiusi, quindi $f$ è chiusa perchè manda tutti i chiusi in chiusi? A me pare che il ragionamento fili....Vi ringrazio se mi dite la vostra al riguardo...
Risposte
Oggi mi sento buono 
Considerata la funzione:\[f:x\in\mathbb{R}\to e^{-x^2}\in\mathbb{R}\] essa è continua ma è chiusa(*)? Ragiona sui due sottoinsiemi chiusi tout court di \(\mathbb{R}\)! Uno è l'insieme vuoto, per cui consideri...
§§§
(*) L'immagine di un insieme chiuso è sempre un insieme chiuso?
Considerata la funzione:\[f:x\in\mathbb{R}\to e^{-x^2}\in\mathbb{R}\] essa è continua ma è chiusa(*)? Ragiona sui due sottoinsiemi chiusi tout court di \(\mathbb{R}\)! Uno è l'insieme vuoto, per cui consideri...
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(*) L'immagine di un insieme chiuso è sempre un insieme chiuso?
Meno male che eri di buon umore oggi...sennò mi toccava una bella sgridata..
!
Se prendo $emptyset$, chiuso, sò che $f(emptyset)=emptyset$, chiuso.
Allora considero $RR$, chiuso, osservo che $f(RR)=(0,1]$ che non è chiuso...quindi la funzione non è chiusa!
Grazie e scusami se ti ho fatto trasalire cn questa domanda...
!Se prendo $emptyset$, chiuso, sò che $f(emptyset)=emptyset$, chiuso.
Allora considero $RR$, chiuso, osservo che $f(RR)=(0,1]$ che non è chiuso...quindi la funzione non è chiusa!
Grazie e scusami se ti ho fatto trasalire cn questa domanda...
Veramente volevo fornirti un esempio fetente e comunque non mi hai fatto trasalire.
P.S.: Quella che affermi è vero se richiedi che \(Y\) sia compatto!
e comunque non mi hai fatto trasalire. P.S.: Quella che affermi è vero se richiedi che \(Y\) sia compatto!
Giusto....perchè se $Y$ è compatto sò che tutti i chiusi sono compatti.
Grazie ancora....!!!!!
Grazie ancora....
!!!!!
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