Dubbio su esercizio matrice

[NonèIMPORTANTE]

ciao, ho un dubbio su questa funzione :

$ f((x,y,z)) = (2x-3y, 2kx -3ky,x+2y+(2k-1)z) $

la matrice per trovare gli autovalori è
$ ( ( 2-x , -3, 0),( 2k, -3k-x, 0),( 1, 2, -x(2k-1)) ) $

il risultato : x ( -x² +2 (1-k)-7k+2+6k²)

gli autovalori sono : 0 , $ (-1+k pm sqrt((25k)^(2) -30k+9) ) / -2 $

è possibile avere come autovalore 0 ? se si l' autovettore che ottengo è uguale a $ (3 / 2,1,-7 / 2) $

quindi la dimensione di questo autospazio quant'è ? non essendoci variabili è 0 ? oppure no?

[fu^2]

autovalore zero è possibilissimo avercelo, anzi cosa nel corso della tua vita di algebra lineare, cosa trovavi risolvendo, se $A$ è una matrice e $x=(x_1,...,x_N)$ è un vettore in un'oppotuna base, il sistema $Ax=0$? con zero da interpretarsi $0=(0,...,0,0)$ o $0=0\cdot(x_1,...,x_N)$ .(ovviamente le righe quando si fa il prodotto vettore matrice si scrivono come colonne)

Inoltre esso come teoria sugli autospazi ha lo stesso peso degli altri. Quindi se hai trovato un autovettore, ammesso che il suo calcolo sia giusto (non ho controllato), cosa vorrà dire?

PS venendo nel merito del tuo esercizio

te hai la funzione $f= (2x-3y, 2kx -3ky,x+2y+(2k-1)z) $

e la matrice associata risulta : $ A=( ( 2 , -3, 0),( 2k, -3k, 0),( 1, 2, (2k-1)) ) $, quindi per trovare il polinomio caratteristico devi risolvere $det(A-\lambda I)=det( ( 2 -\lambda, -3, 0),( 2k, -3k-\lambda, 0),( 1, 2, (2k-1)-\lambda) )=((2k-1)-\lambda)((-3k-\lambda)(2-\lambda)+6k)=-\lambda(\lambda-2k+1)(\lambda+3k-2)$ e quindi si $\lambda=0$ è autovalore a prescindere dai $k$ così a occhio.

Ps quando calcoli i polinomi caratteristici non stare a fare tutti i conti, ma cerca di trovare un modo in cui la scrittura viene già fattorizzata (qua era sviluppare lungo la terza colonna).