Dubbio su equazione della retta
Sul mio libro di algebra lineare leggo "Se $ a $ e $ b $ sono due numeri reali non entrambi nulli, il luogo dei punti $ P=(x,y) $ del piano le cui coordinate soddisfano l'equazione $ ax+by=d $ è una retta con vettore direzione $ ( ( b ),( -a ) ) $ .
Successivamente dice: "Il modo forse più veloce di scrivere l'equazione cartesiana della retta per due punti $ A $ e $ B $ è il seguente. Siccome la retta è diretta come \( \overrightarrow{AB} \) , l'equazione ha la forma $ (y_b-y_a)x-(x_b-x_a)y=d $ ".
Qualcuno sa spiegarmi perché è $ (y_b-y_a)x-(x_b-x_a)y=d $ e non $ (y_b-y_a)x+(x_b-x_b)y=d $ come aveva scritto l'autore precedentemente? Da dove salta fuori quel segno meno?
Continua facendo un esempio "se $ A=(1,0) $ e $ B=(3,3) $ allora la retta ha equazione della forma $ 3x-2y=d $ e imponendo il passaggio per $ A $ ricaviamo $ 3=d $ . Quindi la retta ha equazione $3x-2y=3 $ , o anche $ y= (3/2)x-(3/2) $ ".
I conti tornano (li ho rifatti utilizzando la forma esplicita) ma non capisco da dovi arrivi il meno in $ 3x-2y=d $ . Utilizzando la forma implicita $ ax+by=d $ dovrebbe essere $ 3x+2y=3 $ ma così i conti non tornano.
Qualcuno sa darmi dei chiarimenti in proposito? Grazie.
Successivamente dice: "Il modo forse più veloce di scrivere l'equazione cartesiana della retta per due punti $ A $ e $ B $ è il seguente. Siccome la retta è diretta come \( \overrightarrow{AB} \) , l'equazione ha la forma $ (y_b-y_a)x-(x_b-x_a)y=d $ ".
Qualcuno sa spiegarmi perché è $ (y_b-y_a)x-(x_b-x_a)y=d $ e non $ (y_b-y_a)x+(x_b-x_b)y=d $ come aveva scritto l'autore precedentemente? Da dove salta fuori quel segno meno?
Continua facendo un esempio "se $ A=(1,0) $ e $ B=(3,3) $ allora la retta ha equazione della forma $ 3x-2y=d $ e imponendo il passaggio per $ A $ ricaviamo $ 3=d $ . Quindi la retta ha equazione $3x-2y=3 $ , o anche $ y= (3/2)x-(3/2) $ ".
I conti tornano (li ho rifatti utilizzando la forma esplicita) ma non capisco da dovi arrivi il meno in $ 3x-2y=d $ . Utilizzando la forma implicita $ ax+by=d $ dovrebbe essere $ 3x+2y=3 $ ma così i conti non tornano.
Qualcuno sa darmi dei chiarimenti in proposito? Grazie.
Risposte
Perché un vettore direzione è della forma $( ( x_b-x_a ),( y_b-y_a ) )$ e quindi, tenendo conto dei segni nel vettore direzione $((b),(-a))$, se un'equazione della retta è $ax+by=d$, un'equazione equivalente è $( y_b-y_a )x-( x_b-x_a )y=d'$.
Penso che possa averti confuso l'utilizzo della stessa lettera $d$ nelle due equazioni: nota che se $((b),(-a))=( ( x_b-x_a ),(y_b-y_a ))$ hai, usando la notazione che ho usato io, che $d'=-d$.
Ciao!
Penso che possa averti confuso l'utilizzo della stessa lettera $d$ nelle due equazioni: nota che se $((b),(-a))=( ( x_b-x_a ),(y_b-y_a ))$ hai, usando la notazione che ho usato io, che $d'=-d$.
Ciao!
Ho capito ora, grazie mille.
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