Dubbio su endomorfismo
Sia f:R3->R3 l'endomor smo de nito, rispetto alle basi canoniche, dalle relazioni:
[tex]f(1,0,0)=(1,01), f(0,10)=(1,h,2), f(0,01)=(0,1,h)[/tex]
Studiare f al variare di h determinando in ogni caso Kerf e Imf.
Per h=0 trovare la matrice associata alla f rispetto alla base [tex]A=[e_2,e_3,e_1][/tex] e [tex]B=[v,e_2,e_3[/tex] con e1 e2 e3 basi canoniche e v il vettore [tex](1,-1,0)[/tex]
Allora ho lavorato sulla prima parte e ridotto la matrice ottenendo:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &1 \\
0&h &1 \\
0&0 &2-h^2
\end{pmatrix}[/tex]
Se [tex]h=0[/tex] la matrice ha rango 2, quindi Imf ha dimensione 2 e il Ker dimensione 1.
[tex]Kerf={(0,y,0)|y\in R}[/tex]
Imf invece potrebbe essere [tex]Imf={(1,1,0),(1,2,0)}[/tex]
Se [tex]h=\sqrt{2}[/tex]
Ottengo:
[tex]Kerf={(x,\frac{x}{\sqrt{2}},-x)|x\in R}[/tex]
[tex]Imf={(1,1,0),(1,2,\sqrt{2})}[/tex]
Se [tex]h=-\sqrt{2}[/tex] Cambiano solo i segni della y.
Spero di non aver commesso errori.
Il secondo problema non saprei affrontarlo, so effettuare cambiamenti di base se mi viene fornita l' equazione dell' endomorfismo, ma in quel modo non so da dove devo iniziare, e in quale basi spostarmi.....Praticamente l' endomorfismo è espresso in basi canoniche già, perchè allora devo esprimerlo in base A? All' interno non ho sempre vettori della base canonica? Forse perchè cambia l' ordine? Ma in ogni caso come procedere?
Grazie.
[tex]f(1,0,0)=(1,01), f(0,10)=(1,h,2), f(0,01)=(0,1,h)[/tex]
Studiare f al variare di h determinando in ogni caso Kerf e Imf.
Per h=0 trovare la matrice associata alla f rispetto alla base [tex]A=[e_2,e_3,e_1][/tex] e [tex]B=[v,e_2,e_3[/tex] con e1 e2 e3 basi canoniche e v il vettore [tex](1,-1,0)[/tex]
Allora ho lavorato sulla prima parte e ridotto la matrice ottenendo:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &1 \\
0&h &1 \\
0&0 &2-h^2
\end{pmatrix}[/tex]
Se [tex]h=0[/tex] la matrice ha rango 2, quindi Imf ha dimensione 2 e il Ker dimensione 1.
[tex]Kerf={(0,y,0)|y\in R}[/tex]
Imf invece potrebbe essere [tex]Imf={(1,1,0),(1,2,0)}[/tex]
Se [tex]h=\sqrt{2}[/tex]
Ottengo:
[tex]Kerf={(x,\frac{x}{\sqrt{2}},-x)|x\in R}[/tex]
[tex]Imf={(1,1,0),(1,2,\sqrt{2})}[/tex]
Se [tex]h=-\sqrt{2}[/tex] Cambiano solo i segni della y.
Spero di non aver commesso errori.
Il secondo problema non saprei affrontarlo, so effettuare cambiamenti di base se mi viene fornita l' equazione dell' endomorfismo, ma in quel modo non so da dove devo iniziare, e in quale basi spostarmi.....Praticamente l' endomorfismo è espresso in basi canoniche già, perchè allora devo esprimerlo in base A? All' interno non ho sempre vettori della base canonica? Forse perchè cambia l' ordine? Ma in ogni caso come procedere?
Grazie.
Risposte
A quest'ora mi limito sulla seconda parte!
Conoscendo le immagini dei vettori della base standard mediante [tex]$f$[/tex] conosci tutte le immagine, quindi basta ricordarsi come si scrive la matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a basi assegnate!
Conoscendo le immagini dei vettori della base standard mediante [tex]$f$[/tex] conosci tutte le immagine, quindi basta ricordarsi come si scrive la matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a basi assegnate!
Mh.....non ti ho capito...io uso un altro sistema.
Se ad esempio avessimo 4 basi, e la matrice è espressa in base A con un' applicazione da A->B e mi si chiedesse di scrivere la matrice associata in base C,D io farei così. Passerei i vettori dalla base C alla A, poi applico la legge di definizione, e poi passo dalla base B alla D.
Se volessi fare una cosa simile qui avrei che la legge della f è:
[tex]f(x,y,z)=(x+y,z,x+2y)_E[/tex]
Nel mio caso dovrei portare i vettori dalla base A alla canonica, ma dovrebbero essere già in quella formula, quindi applico la f:
[tex]f(e_2)=f((x,y,z)_E)=(x+y,z,x+2y)=(1,0,2)[/tex]
E così per gli altri vettori ottenendo:
[tex]f(e_3)=(0,1,0)[/tex]
[tex]f(e_1)=(1,0,1)[/tex]
Ora non so se fin qui è corretto, ma non so come continuare ammesso che vada bene....
Se ad esempio avessimo 4 basi, e la matrice è espressa in base A con un' applicazione da A->B e mi si chiedesse di scrivere la matrice associata in base C,D io farei così. Passerei i vettori dalla base C alla A, poi applico la legge di definizione, e poi passo dalla base B alla D.
Se volessi fare una cosa simile qui avrei che la legge della f è:
[tex]f(x,y,z)=(x+y,z,x+2y)_E[/tex]
Nel mio caso dovrei portare i vettori dalla base A alla canonica, ma dovrebbero essere già in quella formula, quindi applico la f:
[tex]f(e_2)=f((x,y,z)_E)=(x+y,z,x+2y)=(1,0,2)[/tex]
E così per gli altri vettori ottenendo:
[tex]f(e_3)=(0,1,0)[/tex]
[tex]f(e_1)=(1,0,1)[/tex]
Ora non so se fin qui è corretto, ma non so come continuare ammesso che vada bene....
Ma allora come fai a trovarti la matrice associata quando è assegnata la base standard?
Allora, il metodo che uso lo trovi qui, ti posto il pdf per vederlo perchè è più facile vederlo che spiegarlo.
http://www.dmi.unict.it/~gquattro/quatt ... parte1.pdf
Vai alla fine del pdf, pag. 97 esercizio 34, il metodo che cercavo di utilizzare è quello, determinando [tex]\alpha, \beta...[/tex] però qui è un pò strano come esercizio quello che ho postato...mi sapresti aiutare?
http://www.dmi.unict.it/~gquattro/quatt ... parte1.pdf
Vai alla fine del pdf, pag. 97 esercizio 34, il metodo che cercavo di utilizzare è quello, determinando [tex]\alpha, \beta...[/tex] però qui è un pò strano come esercizio quello che ho postato...mi sapresti aiutare?
Ti rimando a questa pagina scritta da Sergio dato che tu mi hai messo a disposizione un fascicolo di esercizi svolti!
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