Dubbio su endomorfismi e sottospazi
Salve a tutti, avrei un dubbio riguardo il comportamento degli endomorfismi lineari con i sottospazi (ma in generale con qualsiasi applicazione lineare.
Prendiamo per esempio uno spazio vettoriale $V$, di dimensione $n$, ed un endomorfismi $T$ da $V$ in se stesso. Ora $T$ sarà rappresentato da una matrice $n$x$n$.
Ora io prendo un sottospazio non banale $U$ di $V$, e suppongo che $T$ sia invariante in $U$, ora la matrice della "nuova" applicazione ristretta dovrebbe avere come matrice una matrice $dimU$x$dimU$, oppure resta uguale alla precedente? Io direi la seconda...
Ma se resta uguale come si fa per il polinomio caratteristico per esempio? Infatti dovrebbe essere lo stesso dell'endomorfismo totale, basterebbe poi togliere gli Autovettori di troppo, no? Ma un esercizio del mio libro dice di dimostrare che il polinomio caratteristico della riduzione divide il polinomio caratteristico dell'endomorfismo completo, e non credo si riferisca al fatto che ogni polinomio dove se stesso.
Grazie mille per l'attenzione
Prendiamo per esempio uno spazio vettoriale $V$, di dimensione $n$, ed un endomorfismi $T$ da $V$ in se stesso. Ora $T$ sarà rappresentato da una matrice $n$x$n$.
Ora io prendo un sottospazio non banale $U$ di $V$, e suppongo che $T$ sia invariante in $U$, ora la matrice della "nuova" applicazione ristretta dovrebbe avere come matrice una matrice $dimU$x$dimU$, oppure resta uguale alla precedente? Io direi la seconda...
Ma se resta uguale come si fa per il polinomio caratteristico per esempio? Infatti dovrebbe essere lo stesso dell'endomorfismo totale, basterebbe poi togliere gli Autovettori di troppo, no? Ma un esercizio del mio libro dice di dimostrare che il polinomio caratteristico della riduzione divide il polinomio caratteristico dell'endomorfismo completo, e non credo si riferisca al fatto che ogni polinomio dove se stesso.
Grazie mille per l'attenzione
Risposte
Il polinomio caratteristico di \(T|_U\) (T ristretta a un sottospazio $T$-invariante) è semplicemente il fattore del polinomio caratteristico di $T$ che contiene gli autovettori che generano $U$.
"killing_buddha":
Il polinomio caratteristico di \(T|_U\) (T ristretta a un sottospazio $T$-invariante) è semplicemente il fattore del polinomio caratteristico di $T$ che contiene gli autovettori che generano $U$.
Come faccio a sapere a priori che esistono degli autovettori che generano U?
Inoltre come faccio a calcolarla senza dover passare dal polinomio di T?
Per la questione della matrice invece? Resta la stessa come pensavo, no?
"ThisMan":
Prendiamo per esempio uno spazio vettoriale $V$, di dimensione $n$, ed un endomorfismi $T$ da $V$ in se stesso. Ora $T$ sarà rappresentato da una matrice $n$x$n$.
Tradotto significa che T è una trasformazione da $R^n$ in $R^n$, ergo la matrice (nxn) associata ha:
A) rango massimo, ovvero n.
B) è invertibile
C) è biettiva
D) lo spazio nullo (il nucleo) e lo spazio nullo sinistro sono sottospazi vettoriali banali che contengono solo ${0}$
E) tutti i pivot sono diversi da zero, ergo non ha autovalori pari a 0
"ThisMan":
Ora io prendo un sottospazio non banale $U$ di $V$, e suppongo che $T$ sia invariante in $U$, ora la matrice della "nuova" applicazione ristretta dovrebbe avere come matrice una matrice $dimU$x$dimU$, oppure resta uguale alla precedente? Io direi la seconda...
Non è che puoi "supporlo". Dipende dalla trasformazione T, ovvero se il polinomio caratteristico di T ha almeno un autovalore pari a 1, allora gli autovettori associati genereranno U, no?
Quindi se non conosciamo T , possiamo solo solo affermare che U sarà composto da $1, 2,...,(n-1)$ rette in $R^n$ ovvero gli span di ogni singolo autovettore associato all'autovalore 1...se ne esiste uno. Altrimenti U conterrà solo ${0}$
P.S. E se U è generato da più di un autovettore (ovvero, è un fascio di rette di numero finito passante per l'origine), allora non è nemmeno un sottospazio vettoriale. Quindi U, per essere un sottospazio vettoriale, al massimo può essere una retta oppure l'insieme nullo.
P.S.2 Come è chiaro da ciò che ho scritto, quando scrivo che U è generato dagli autovettori NON intendo dire dalle loro combinazioni lineari (infatti le combinazioni lineari di questi eventuali autovettori associati all'autovalore 1 non soddisfano l'invarianza rispetto a T). Intendo proprio che ogni singolo autovettore moltiplicato per una costante genera una retta (ovvero infiniti autovettori associati all'autovalore 1 e che appartengono ovviamente a V) e che l'insieme delle rette (il fascio) è U stesso. Ho pensato fosse il caso di specificarlo per non indurre confusione.
"Bokonon":
[quote="ThisMan"]Prendiamo per esempio uno spazio vettoriale $V$, di dimensione $n$, ed un endomorfismi $T$ da $V$ in se stesso. Ora $T$ sarà rappresentato da una matrice $n$x$n$.
Tradotto significa che T è una trasformazione da $R^n$ in $R^n$, ergo la matrice (nxn) associata ha:
A) rango massimo, ovvero n.
B) è invertibile
C) è biettiva
D) lo spazio nullo (il nucleo) e lo spazio nullo sinistro sono sottospazi vettoriali banali che contengono solo ${0}$
E) tutti i pivot sono diversi da zero, ergo non ha autovalori pari a 0
"ThisMan":
Ora io prendo un sottospazio non banale $U$ di $V$, e suppongo che $T$ sia invariante in $U$, ora la matrice della "nuova" applicazione ristretta dovrebbe avere come matrice una matrice $dimU$x$dimU$, oppure resta uguale alla precedente? Io direi la seconda...
Non è che puoi "supporlo". Dipende dalla trasformazione T, ovvero se il polinomio caratteristico di T ha almeno un autovalore pari a 1, allora gli autovettori associati genereranno U, no?
Quindi se non conosciamo T , possiamo solo solo affermare che U sarà composto da $1, 2,...,(n-1)$ rette in $R^n$ ovvero gli span di ogni singolo autovettore associato all'autovalore 1...se ne esiste uno. Altrimenti U conterrà solo ${0}$
P.S. E se U è generato da più di un autovettore (ovvero, è un fascio di rette di numero finito passante per l'origine), allora non è nemmeno un sottospazio vettoriale. Quindi U, per essere un sottospazio vettoriale, al massimo può essere una retta oppure l'insieme nullo.
P.S.2 Come è chiaro da ciò che ho scritto, quando scrivo che U è generato dagli autovettori NON intendo dire dalle loro combinazioni lineari (infatti le combinazioni lineari di questi eventuali autovettori associati all'autovalore 1 non soddisfano l'invarianza rispetto a T). Intendo proprio che ogni singolo autovettore moltiplicato per una costante genera una retta (ovvero infiniti autovettori associati all'autovalore 1 e che appartengono ovviamente a V) e che l'insieme delle rette (il fascio) è U stesso. Ho pensato fosse il caso di specificarlo per non indurre confusione.[/quote]
Non comprendo come fai a dire che ogni endomorfismi fa parte del gruppo lineare o.o
Inoltre non comprendo neanche quando dici che $U$ può essere solo una retta. Inoltre ok che non tutte le applicazioni sono invariante ad un sottospazio, ma la mia domanda riguardava questi.
Sinceramente io ho pensato che si dovrebbe procedere in questo modo. Guardo gli autovalori dell'endomorfismo, se nell'auto spazio di $/lamda_1$ sono contenuti vettori di $U$, allora $/lamda_1$ è un autovalori dell'applicazione ridotta.
Non so, scusate l'ottusità e grazie mille per la disponibilità nell'aiutarmi
"ThisMan":
Non comprendo come fai a dire che ogni endomorfismi fa parte del gruppo lineare o.o
Cosa vuol dire questa frase?
Prova ad esprimerla in parole semplici e porta un controesempio
....sono tutte trasformazioni lineari
Credo che ci sia un'incomprensione di fondo: per gruppo lineare si intende l'insieme delle matrici invertibili a entrate reali di ordine $n$, e si indica con $GL_n (RR)$.
"Magma":
Credo che ci sia un'incomprensione di fondo: per gruppo lineare si intende l'insieme delle matrici invertibili a entrate reali di ordine $n$, e si indica con $GL_n (RR)$.
Cioè in parole povere "come hai fatto a dedurre che la trasformazione T sia invertibile?"
L'ha definito lui così. Ha scritto che è un endomorfismo T:V->V dove V ha dimensione n
Non ha scritto che è un endomorfismo generico da $R^n$ in $R^n$
Prendiamo un esempio semplice di un endomorfismo $R^3$ in $R^3$, quindi V è tutto $R^3$.
La trasfomazione T sarà una matrice A generica 3x3 (non nulla).
Analizziamo i vari casi:
A) A ha rango 1, quindi l'immagine ha dimensione 1, ovvero una retta in $R^3$
B) A ha rango 2, quindi l'immagine ha dimensione 2, ovvero un piano in $R^3$
C) A ha rango 3, quindi l'immagine ha dimensione 3, ovvero tutto $R^3$
Domanda, quale sarà mai l'immagine identica a V? Caso A, B o C?
$V sube RR^3$ è uno spazio vettoriale generico. In ogni caso, il modo più facile per vedere che un endomorfismo sia invertibile è verificare che sia
cioè
Non capisco il senso della domanda
iniettivo $hArr$ surgettivo
cioè
$dim(ker(T))=0 hArr dim(Im(T))=dim(V)$
"Bokonon":
Prendiamo un esempio semplice di un endomorfismo $ R^3 $ in $ R^3 $, quindi V è tutto $ R^3 $.
La trasfomazione T sarà una matrice A generica 3x3 (non nulla).
Analizziamo i vari casi:
A) A ha rango 1, quindi l'immagine ha dimensione 1, ovvero una retta in $ R^3 $
B) A ha rango 2, quindi l'immagine ha dimensione 2, ovvero un piano in $ R^3 $
C) A ha rango 3, quindi l'immagine ha dimensione 3, ovvero tutto $ R^3 $
Domanda, quale sarà mai l'immagine identica a V? Caso A, B o C?
Non capisco il senso della domanda
"Magma":
Non capisco il senso della domanda
Mi pare di parlare con un muro di gomma.
Scusa se te lo dico ma ogni volta è come se io dico A, tu rispondi B.
Il testo dice Prendiamo per esempio uno spazio vettoriale $V$, di dimensione $n$ e tu rispondi che V è un sottospazio vettoriale generico di $R^n$ con $V sube RR^n$?
V e $R^n$ sono la stessa cosa
Non ha scritto che V ha dimensione inferiore a n.
Davvero siamo ancora alla prima sentenza?
Scusa il tono ma mi cascano le braccie a leggere risposte del genere.
Come arriviamo alla seconda parte della sentenza, ovvero che T:V--> V se non è pacifico che V è tutto $R^n$?
Ma la mia perplessità è su questa parte:
Sembrerebbe una domanda retorica dalla risposta evidente, ma io non la vedo.
Ad esempio
ha tutti i requisiti sufficienti per essere un endomorfismo, ma non è invertibile; il che confuta quanto sostenuto qua:
Tradotto significa che T è una trasformazione da $ R^n $ in $ R^n $, ergo la matrice (nxn) associata ha:
A) rango massimo, ovvero n.
B) è invertibile
C) è biettiva
D) lo spazio nullo (il nucleo) e lo spazio nullo sinistro sono sottospazi vettoriali banali che contengono solo $ {0} $
E) tutti i pivot sono diversi da zero, ergo non ha autovalori pari a 0
[/quote]
Tra l'altro non è vero che un endomorfismo non possa avere autovalori nulli, semplicemente sarà un endomorfismo non invertibile. Credo che lei abbia confuso un endomorfismo con un automorfismo.
"Bokonon":
Prendiamo un esempio semplice di un endomorfismo $ R^3 $ in $ R^3 $, quindi V è tutto $ R^3 $.
La trasfomazione T sarà una matrice A generica 3x3 (non nulla).
Analizziamo i vari casi:
A) A ha rango 1, quindi l'immagine ha dimensione 1, ovvero una retta in $ R^3 $
B) A ha rango 2, quindi l'immagine ha dimensione 2, ovvero un piano in $ R^3 $
C) A ha rango 3, quindi l'immagine ha dimensione 3, ovvero tutto $ R^3 $
Domanda, quale sarà mai l'immagine identica a V? Caso A, B o C?
Sembrerebbe una domanda retorica dalla risposta evidente, ma io non la vedo.
Ad esempio
$f: qquad V-> V$ definito ponendo
$f(e_1)=e_1$
$f(e_2)=e_2$
$f(e_3)=0$
$f(e_1)=e_1$
$f(e_2)=e_2$
$f(e_3)=0$
ha tutti i requisiti sufficienti per essere un endomorfismo, ma non è invertibile; il che confuta quanto sostenuto qua:
"Bokonon":
[quote="ThisMan"]Prendiamo per esempio uno spazio vettoriale $ V $, di dimensione $ n $, ed un endomorfismi $ T $ da $ V $ in se stesso. Ora $ T $ sarà rappresentato da una matrice $ n $x$ n $.
Tradotto significa che T è una trasformazione da $ R^n $ in $ R^n $, ergo la matrice (nxn) associata ha:
A) rango massimo, ovvero n.
B) è invertibile
C) è biettiva
D) lo spazio nullo (il nucleo) e lo spazio nullo sinistro sono sottospazi vettoriali banali che contengono solo $ {0} $
E) tutti i pivot sono diversi da zero, ergo non ha autovalori pari a 0
[/quote]
Tra l'altro non è vero che un endomorfismo non possa avere autovalori nulli, semplicemente sarà un endomorfismo non invertibile. Credo che lei abbia confuso un endomorfismo con un automorfismo.
Magma, siamo nel delirio più assoluto..io scendo qua 
Ma come fa a sostenere a priori che un endomorfismo sia sempre invertibile?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo