Dubbio su dimostrazione teorema di esistenza e unicità applicazioni lineari

[lilengels]

salve stavo studiando la dimostrazione del suddetto teorema, ma non riesco a capire una cosa.
la dimostrazione parte a spiegare, giustamente, che $v = a1v1+a2v2+...+anvn$ successivamente dice che $f(v)=a1w1+a2w2+...+anwn$ e da questo risulta che $f(vi)=wi$ per ogni i.
non capisco come faccia a ricavare questa formula.
potreste darmi delle delucidazioni?
grazie

[Seneca1]

Se ho capito bene qual è il problema, direi che è conseguenza della proprietà di linearità...

[Maci86]

La funzione a cui fa riferimento la funzione è quella che si comporta in questo modo:
$f(v_1)=w_1$
$...$
$f(v_n)=w_n$
Se $$ è una base dello spazio di partenza allora ogni vettore $v$ dello spazio si può scrivere come combinazione lineare dei vettori della base:
$v= a_1 v_1 + ...+ a_n v_n$
Applichiamo la nostra funzione al vettore $v$:
$f(v)= f(a_1 v_1 + ...+ a_n v_n)= f(a_1 v_1) + ...+ f(a_n v_n)= a_1 f(v_1) + ...+a_n f(v_n)= a_1 w_1 +...+a_n w_n$
Capito adesso?