Dubbio su Dimensione Intersezione di Sottospazi
Ciao ragazzi,avrei un dubbio per quanto riguarda un esercizio sulla dimensione dell'intersezione di due sottospazi affini.
Ho infatti questi due sottospazi affini:
\(\displaystyle M = (0,3,-2,-1) + L[ (1,2,-1,-2) ] \)
\(\displaystyle F= (-1,4,-3,0) + L[ (1,2,-1,-2) ] \)
Questi due sottospazi hanno la stessa direzione,quindi sono paralleli.
Per questo quindi
\(\displaystyle M \)$nn$\(\displaystyle F = 0 \)
Giusto?
Però non ho capito perchè, se si seguisse il procedimento tipico dell'intersezione dei sottospazi di cui almeno uno affine( ovvero mettendo a matrice le rappresentazioni cartesiane dei vettori base) otterrei \(\displaystyle Dim(M \)$nn$ \(\displaystyle F) = 1 \) e non \(\displaystyle 0 \)
Qualcuno potrebbe spiegarmi il motivo? Grazie!
Ho infatti questi due sottospazi affini:
\(\displaystyle M = (0,3,-2,-1) + L[ (1,2,-1,-2) ] \)
\(\displaystyle F= (-1,4,-3,0) + L[ (1,2,-1,-2) ] \)
Questi due sottospazi hanno la stessa direzione,quindi sono paralleli.
Per questo quindi
\(\displaystyle M \)$nn$\(\displaystyle F = 0 \)
Giusto?
Però non ho capito perchè, se si seguisse il procedimento tipico dell'intersezione dei sottospazi di cui almeno uno affine( ovvero mettendo a matrice le rappresentazioni cartesiane dei vettori base) otterrei \(\displaystyle Dim(M \)$nn$ \(\displaystyle F) = 1 \) e non \(\displaystyle 0 \)
Qualcuno potrebbe spiegarmi il motivo? Grazie!
Risposte
Innanzitutto ciao.
I due spazi $M,F$ non hanno elementi in comune, per cui dovrebbe essere più corretto scrivere
$M nn F=phi$
al posto di
$M nn F=0$
Devo ammettere che io non ho ben compreso i dettagli della procedura riportata nella citazione; specificando in modo più preciso, forse potrei essere in grado di chiarire quest'ultimo punto.
Saluti.
"ddr1995":
\( \displaystyle M \)$ nn $\( \displaystyle F = 0 \)
Giusto?
I due spazi $M,F$ non hanno elementi in comune, per cui dovrebbe essere più corretto scrivere
$M nn F=phi$
al posto di
$M nn F=0$
"ddr1995":
Però non ho capito perchè, se si seguisse il procedimento tipico dell'intersezione dei sottospazi di cui almeno uno affine( ovvero mettendo a matrice le rappresentazioni cartesiane dei vettori base) otterrei \( \displaystyle Dim(M \)$ nn $ \( \displaystyle F) = 1 \) e non \( \displaystyle 0 \)
Qualcuno potrebbe spiegarmi il motivo? Grazie!
Devo ammettere che io non ho ben compreso i dettagli della procedura riportata nella citazione; specificando in modo più preciso, forse potrei essere in grado di chiarire quest'ultimo punto.
Saluti.
Ciao Alessandro,grazie per aver rispolverato questo post!
Allora per verificare l'intersezione tra sottospazi io di solito metto i vettori a matrice,quello che si semplifica é \(\displaystyle F \cap M \)
Se io adesso metto a matrice quei due vettori,che sono chiaramente uguali, si semplificherebbe un vettore.
Quindi avrei \(\displaystyle Dim(F \cap M) = 1 \).
Quello che mi chiedo io è come può essere che due sottospazi paralleli abbiano dimensione 1?
Cioè se sono paralleli(in quanto hanno la stessa giacitura) \(\displaystyle Dim(F \cap M) \) non dovrebbe essere -1?
Stessa cosa accade se ho per esempio due vettori di\(\displaystyle B \) che si semplificano quando li metto a matrice con 3 vettori di \(\displaystyle A \) . Dal momento che tutti e due i vettori di B si semplificano quando li metto a matrice con quelli di A ,allora dovrebbe essere B parallelo ad A.
Ma allora \(\displaystyle Dim( A \cap B)=2 \) ( il due rappresenta i due vettori di B che si semplificano con quelli di A) o \(\displaystyle Dim( A \cap B)=-1? \) (in quanto \(\displaystyle A \cap B =\phi \),perchè paralleli)
Intendo ovviamente con \(\displaystyle DimB= 2 \) e \(\displaystyle Dim A = 3 \)
Allora per verificare l'intersezione tra sottospazi io di solito metto i vettori a matrice,quello che si semplifica é \(\displaystyle F \cap M \)
Se io adesso metto a matrice quei due vettori,che sono chiaramente uguali, si semplificherebbe un vettore.
Quindi avrei \(\displaystyle Dim(F \cap M) = 1 \).
Quello che mi chiedo io è come può essere che due sottospazi paralleli abbiano dimensione 1?
Cioè se sono paralleli(in quanto hanno la stessa giacitura) \(\displaystyle Dim(F \cap M) \) non dovrebbe essere -1?
Stessa cosa accade se ho per esempio due vettori di\(\displaystyle B \) che si semplificano quando li metto a matrice con 3 vettori di \(\displaystyle A \) . Dal momento che tutti e due i vettori di B si semplificano quando li metto a matrice con quelli di A ,allora dovrebbe essere B parallelo ad A.
Ma allora \(\displaystyle Dim( A \cap B)=2 \) ( il due rappresenta i due vettori di B che si semplificano con quelli di A) o \(\displaystyle Dim( A \cap B)=-1? \) (in quanto \(\displaystyle A \cap B =\phi \),perchè paralleli)
Intendo ovviamente con \(\displaystyle DimB= 2 \) e \(\displaystyle Dim A = 3 \)
In realtà prima di dire che \(F\cap M = \emptyset\) dovresti controllare che non coincidano. Insomma ogni sottospazio affine è parallelo a se stesso. Non ho controllato se è questo il caso, ma ci sono professori che fanno caso a queste sottigliezze.
Riguardo alla tua domanda penso che il problema sia che i sottospazi sono espressi in forma parametrica e non in forma cartesiana. Insomma sono due rette espresse come punto più direzione. Mentre tu fai riferimento al metodo comunemente usato per spazi espressi in forma cartesiana. Per lo meno se ho compreso che fai.
Ho qualche perplessità rispetto al tuo ritenere che la dimensione possa assumere valori negativi.
Riguardo alla tua domanda penso che il problema sia che i sottospazi sono espressi in forma parametrica e non in forma cartesiana. Insomma sono due rette espresse come punto più direzione. Mentre tu fai riferimento al metodo comunemente usato per spazi espressi in forma cartesiana. Per lo meno se ho compreso che fai.
Ho qualche perplessità rispetto al tuo ritenere che la dimensione possa assumere valori negativi.
-1 è usato per convenzione per esprimere la dimensione dell'insieme vuoto,ovvero quando due sottospazi sono paralleli.
Ma quello che mi chiedo è in quali casi si hanno due sottospazi paralleli?
Se ho
\(\displaystyle A=(\displaystyle (1,-1,0)(0,3,1)) \)
\(\displaystyle B = ((-1,1,0) ( 3,0,1)) \)
\(\displaystyle A \cap B)= \) $((1,-1,0),(0,3,1),(-1,1,0),(3,0,1))$ ==> $((1,-1,0),(0,3,1),(0,0,0),(0,0,0))$
Quindi \(\displaystyle ( A \cap B) = 2 \)
Quindi da quello che hai detto tu(e da quello che spero di aver capito) I due sottospazi sono paralleli perchè B coincide totalmente con A giusto? Oppure due sottospazi sono paralleli soltanto se la loro intersezione è l'insieme vuoto?
Ma quello che mi chiedo è in quali casi si hanno due sottospazi paralleli?
Se ho
\(\displaystyle A=(\displaystyle (1,-1,0)(0,3,1)) \)
\(\displaystyle B = ((-1,1,0) ( 3,0,1)) \)
\(\displaystyle A \cap B)= \) $((1,-1,0),(0,3,1),(-1,1,0),(3,0,1))$ ==> $((1,-1,0),(0,3,1),(0,0,0),(0,0,0))$
Quindi \(\displaystyle ( A \cap B) = 2 \)
Quindi da quello che hai detto tu(e da quello che spero di aver capito) I due sottospazi sono paralleli perchè B coincide totalmente con A giusto? Oppure due sottospazi sono paralleli soltanto se la loro intersezione è l'insieme vuoto?
Sulla dimensione ok, anche se io l'ho visto usare solo negli spazio proiettivi. In ogni caso il rango di una matrice è maggiore o uguale a 0 e uguale a zero solo se la matrice è nulla. Quindi capirai che il tuo metodo non ha alcun senso, e non funziona mai. Probabilmente applichi impropriamente il metodo. Puoi mostrarci un esempio differente in cui sai che funziona. Un esempio del libro per esempio.
Vict non ho capito cosa intendi,quale metodo?
Quello che usi per calcolare l'intersezione.
E perchè parli del rango della matrice allora? Non ne ho mai accennato, non ho capito..
Cioè il metodo che uso è mettere a matrice i vettori di A e B e ridurre a scala.
Quello che si semplifica è \(\displaystyle L \cap M \).
Quindi se ho A e B come scritto sopra,metto a matrice i vettori di B e quelli di A.
Dal momento che tutti e due i vettori di B si semplificano durante la riduzione,ottengo due cose:
1) \(\displaystyle Dim A \cap B = 2 \) , MA
2) \(\displaystyle B \) si semplifica totalmente con i vettori di \(\displaystyle A \)
Quindi,dal momento che B ha dimensione 2 e tutti e due i vettori di B si semplificano con quelli di A, geometricamente non ho due piani coincidenti e quindi paralleli?
Allora in realtà la dimensione dell'intersezione non è uguale a -1?( con -1 inteso come dimensione dell'insieme vuoto)
Cioè il metodo che uso è mettere a matrice i vettori di A e B e ridurre a scala.
Quello che si semplifica è \(\displaystyle L \cap M \).
Quindi se ho A e B come scritto sopra,metto a matrice i vettori di B e quelli di A.
Dal momento che tutti e due i vettori di B si semplificano durante la riduzione,ottengo due cose:
1) \(\displaystyle Dim A \cap B = 2 \) , MA
2) \(\displaystyle B \) si semplifica totalmente con i vettori di \(\displaystyle A \)
Quindi,dal momento che B ha dimensione 2 e tutti e due i vettori di B si semplificano con quelli di A, geometricamente non ho due piani coincidenti e quindi paralleli?
Allora in realtà la dimensione dell'intersezione non è uguale a -1?( con -1 inteso come dimensione dell'insieme vuoto)
"vict85":
In realtà prima di dire che \(F\cap M = \emptyset\) dovresti controllare che non coincidano. Insomma ogni sottospazio affine è parallelo a se stesso. Non ho controllato se è questo il caso, ma ci sono professori che fanno caso a queste sottigliezze.
Non l'avevo scritto prima, ma avevo già controllato io: $M$ e $F$ sono davvero disgiunti (salvo miei errori di calcolo...).
Saluti.
"ddr1995":
[...] Cioè il metodo che uso è mettere a matrice i vettori di A e B e ridurre a scala. [...]
Quindi secondo te ridurre a scala e calcolare il rango non hanno nulla a che fare? Comunque il tuo metodo non trova l'intersezione e non funziona nel caso affine. Se quelli fossero sottospazi vettoriali troverebbe l'unione.
E allora quale sarebbe il metodo giusto per trovare l'intersezione tra due sottospazi, di cui almeno uno affine?
Comunque sia, nel mio secondo esempio sono presenti A e B che non sono sottospazi affini,quindi il mio metodo almeno in quel caso dovrebbe funzionare.
Comunque sia, nel mio secondo esempio sono presenti A e B che non sono sottospazi affini,quindi il mio metodo almeno in quel caso dovrebbe funzionare.
Se ti piace pensarlo. Secondo me non funziona.Nel caso specifico di due rette espresse come \(\displaystyle P_0 + t\mathbf{v} \) e \(\displaystyle P_1 + s\mathbf{w} \) devi porre \(\displaystyle P_0 + t\mathbf{v} = P_1 + s\mathbf{v} \), o equivalentemente \(\displaystyle P_0-P_1 = s\mathbf{w}-t\mathbf{v} \), e risolvere per \(\displaystyle s \) e \(\displaystyle t \) il sistema. Nota che è equivalente a vedere se il vettore \(\displaystyle P_0 - P_1 \) appartiene al sottospazio vettoriale generato da \(\displaystyle \mathbf{v} \) e \(\displaystyle \mathbf{w} \).
Se i sottospazi sono descritti nella forma \(\displaystyle F_i(P) = 0 \) allora si mettono a sistema i vari \(\displaystyle F_i(P) \) e si risolve il sistema.
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