Dubbio su determinante

[Gmig]

Ho un dubbio sul determinante scaturito da due dispense (di autori diversi) scaricate da internet.
In una si dice:
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Consideriamo la generica trasformazione lineare caratterizzata dalle equazioni
$\{(x'=a_1x+b_1y+c_1),(y'=a_2x+b_2y+c_2):}$
che mutano il generico punto P(x,y) del piano nel punto P'(x',y').
Essa è una trasformazione geometrica (cioè una applicazione biunivoca) se e solo se il determinante della matrice
$((a_1 ,b_1),(a_2 ,b_2))$
è diverso da 0. Infatti in questo caso, e solo in questo caso, il sistema
$\{(a_1x+b_1y=x'-c_1),(a_2x+b_2y=y'-c_2):}$
ammette una ed una sola soluzione.
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Mentre nell'altra:
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$\{(alpha a_1+beta b_1+gammac_1=0),(alpha a_2+beta b_2+gammac_2=0),(alpha a_3+beta b_3+gammac_3=0):}$
Il sistema precedente è un sistema lineare omogeneo (cioè con i secondi membri tutti uguali a zero. Questo sistema può fornire una soluzione diversa da quella banale ${(alpha,beta,gamma)=(0,0,0)}$ se e solo se il determinante dei coefficienti è uguale a zero, quindi se e solo se:
$|(a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3),(c_1,c_2,c_3)|=0$
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Il mio dubbio consiste nel capire se sono equivalenti (o corrette ma non correlate) le seguenti affermazioni:

"se il determinante è diverso da 0 un sistema ammette una ed una sola soluzione"
e
"Questo sistema può fornire una soluzione diversa da quella banale ${(alpha,beta,gamma)=(0,0,0)}$ se e solo se il determinante dei coefficienti è uguale a zero"

Grazie.

[ciampax]

Mai sentito parlare di "Regola di Cramer"?