Dubbio su definizione di varietà topologica
Non mi è chiara la definizione di varietà topologica dato che il mio professore a lezione l'ha definita come:
1) Uno spazio topologico $M$ è detto varietà topologica di dimensione $n$ se: $M$ è T2, $M$ è localmente euclideo, ogni componente connessa di $M$ è $N2$.
Quando però vado a fare gli esercizi da lui lasciati, trovo come definizione di varietà topologica nell'eserciziaro questa:
2)Una varietà topologica di dimensione $n$ è uno spazio topologico $X$ che è di Hausdorff ed è tale che per ogni punto $x inX$ esiste un intorno aperto $U$ di $x$ in $X$ tale che $U$ è omeomorfo a un aperto di $RR^n$.
Non mi è chiaro quindi se la proprietà che ogni componente connessa della varietà topologica debba essere o meno $N2$. Qualcuno sa dirmi?
1) Uno spazio topologico $M$ è detto varietà topologica di dimensione $n$ se: $M$ è T2, $M$ è localmente euclideo, ogni componente connessa di $M$ è $N2$.
Quando però vado a fare gli esercizi da lui lasciati, trovo come definizione di varietà topologica nell'eserciziaro questa:
2)Una varietà topologica di dimensione $n$ è uno spazio topologico $X$ che è di Hausdorff ed è tale che per ogni punto $x inX$ esiste un intorno aperto $U$ di $x$ in $X$ tale che $U$ è omeomorfo a un aperto di $RR^n$.
Non mi è chiaro quindi se la proprietà che ogni componente connessa della varietà topologica debba essere o meno $N2$. Qualcuno sa dirmi?
Risposte
Dipende dal cosa vuoi farci con le varietà topologiche?
Ad esempio: se tu volessi considerare una partizione dell'unità allora ti servirebbe la condizione \(\displaystyle N_2\)!
Ad esempio: se tu volessi considerare una partizione dell'unità allora ti servirebbe la condizione \(\displaystyle N_2\)!
"j18eos":
Dipende dal cosa vuoi farci con le varietà topologiche?
C'è un esercizio che dice (sempre negli esercizi del professore): "Sia $X$ uno spazio topologico di Hausdorff. Allora si provi che $X$ è una varietà topologica di dimensione $n$ se esiste un ricoprimento aperto di $X$ costituito da aperti omeomorfi a $RR^n$."
Sul fatto che $X$ sia T2 e sia localmente euclideo non ci sono problemi, ma se si richiede anche che un varietà topologica ha le componenti connesse N2, senza ulteriori ipotesi sull'esercizio non si può dire se $X$ sia una varietà topologica...
Per come la vedo io: o il docente ha aggiunto un'ipotesi di comodo che poi non gli serve, oppure s'è dimenticato di assumerla nell'esercizio.
"j18eos":
Per come la vedo io: o il docente ha aggiunto un'ipotesi di comodo che poi non gli serve, oppure s'è dimenticato di assumerla nell'esercizio.
Anche per me, ma molto plausibile la seconda forse perchè in anni passati non avrà aggiunto questa ipotesi. vabbe comunque io l'esercizio l'ho risolto senza assumere quell'ipotesi, non dovrebbero esserci problemi
"andreadel1988":Ottimo!
[...] vabbè comunque io l'esercizio l'ho risolto senza assumere quell'ipotesi, non dovrebbero esserci problemi
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