Dubbio su Coniche
Salve a tutti.
Cercando su internet metodi per riconoscere una conica ho trovato il "Teorema sul riconoscimento di una conica".
Viene precisato che, data una conica di equazione:
ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0
Esplicitando rispetto alla x, si ricava il determinante che è:
(b^2 - 4ac) y^2 + (2bd - 4ae) y + d^2 - 4af (che chiamerò D1)
Ora, leggo che se (b^2-4ac)=0, allora la conica rappresenta una parabola.
Capisco che tale affermazione è motivata dal fatto che io avrei nella soluzione del determinante >=0 una sola y, poichè il coeff. della y di secondo grado è 0. Dunque avrei una sola y, e se io la sostituisco nell'equazione della conica e ricavo x, avrei due valori di x per un solo valore di y, come con la parabola.
Ma perchè è unica la condizione (b^2-4ac)=0?
Preciso. Considero la disequazione D1>=0 (necessaria affinché la conica assuma valori reali in x)
E' un'equazione di secondo grado, dunque ricavo il suo determinante, che chiamo D2.
Se io, in tale equazione (ovviamente in y), volessi una sola soluzione in y e non due, mi basterebbe porre D2=0, il che mi da un'ulteriore condizione, diversa da (b^2-4ac).
Ora, perché tale condizione viene scartata mentre la precedente no?
Cercando su internet metodi per riconoscere una conica ho trovato il "Teorema sul riconoscimento di una conica".
Viene precisato che, data una conica di equazione:
ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0
Esplicitando rispetto alla x, si ricava il determinante che è:
(b^2 - 4ac) y^2 + (2bd - 4ae) y + d^2 - 4af (che chiamerò D1)
Ora, leggo che se (b^2-4ac)=0, allora la conica rappresenta una parabola.
Capisco che tale affermazione è motivata dal fatto che io avrei nella soluzione del determinante >=0 una sola y, poichè il coeff. della y di secondo grado è 0. Dunque avrei una sola y, e se io la sostituisco nell'equazione della conica e ricavo x, avrei due valori di x per un solo valore di y, come con la parabola.
Ma perchè è unica la condizione (b^2-4ac)=0?
Preciso. Considero la disequazione D1>=0 (necessaria affinché la conica assuma valori reali in x)
E' un'equazione di secondo grado, dunque ricavo il suo determinante, che chiamo D2.
Se io, in tale equazione (ovviamente in y), volessi una sola soluzione in y e non due, mi basterebbe porre D2=0, il che mi da un'ulteriore condizione, diversa da (b^2-4ac).
Ora, perché tale condizione viene scartata mentre la precedente no?
Risposte
Vedo un po' di confusione in ciò che dici. Facciamo ordine:
L'equazione generale di una conica è:
\[ ax^2 + 2 b xy + cy^2 + 2dx + 2ey + f = 0 \]
La matrice associata ad una conica con questa equazione è:
\[ A =\left ( \begin{matrix}
a & b & d \\
b & c & e \\
d & e & f \end{matrix} \right ) \]
Per riconoscere di che tipo di conica si tratta, bisogna fare il determinante di $A$. Puoi usare gli sviluppi di Laplace o la regola di Sarrus. Una volta ottenuto il determinante si verificano i seguenti casi:
\[ \begin{cases}
\det A = 0 \implies conica \ degenere \\
\det A \neq 0 \implies conica \ non \ degenere \end{cases} \]
Se la conica è non degenere, si può stabilire di quale si tratti con il determinante della parte quadratica $Q$:
\[ Q = \left ( \begin{matrix}
a & b \\
b & c \\ \end{matrix} \right ) \]
Ora si hanno tre casi:
\[ \begin{cases}
\det Q = 0 \implies parabola \\
\det Q > 0 \implies ellisse \\
\det Q < 0 \implies iperbole \end{cases} \]
Nel caso dell'ellisse bisogna stabilire anche se si tratti di un ellisse reale o immaginario. Ci sono vari modi per stabilirlo, ma il più immediato è studiare il segno della traccia di $Q$ e del determinante di A:
Se [tex]tr \ (Q) \cdot \det (A) > 0[/tex], l'ellisse sarà immaginaria; se, invece, [tex]tr \ (Q) \cdot \det (A) < 0[/tex], l'ellisse sarà reale.
Si possono stabilire anche altre caratteristiche utilizzando gli invarianti (cioè, [tex]\det A, \ tr \ Q, \det Q[/tex]), ma principalmente sono queste.
Se, da come mi sembra di capire, non ti è chiaro perchè se il determinante di $Q$ è nullo allora si tratta di una parabola, la spiegazione può essere intuita in questo modo:
Nel caso della parabola, sappiamo per definizione che uno degli autovalori di $Q$ è uguale a $0$. Ricordando che una matrice con un autovalore nullo deve essere singolare (cioè deve avere determinante nullo), concludiamo che il determinante di $Q$ deve essere nullo. Quindi, quando è nullo si tratta di una parabola!
Se non ti è chiaro qualcosa, chiedi pure
L'equazione generale di una conica è:
\[ ax^2 + 2 b xy + cy^2 + 2dx + 2ey + f = 0 \]
La matrice associata ad una conica con questa equazione è:
\[ A =\left ( \begin{matrix}
a & b & d \\
b & c & e \\
d & e & f \end{matrix} \right ) \]
Per riconoscere di che tipo di conica si tratta, bisogna fare il determinante di $A$. Puoi usare gli sviluppi di Laplace o la regola di Sarrus. Una volta ottenuto il determinante si verificano i seguenti casi:
\[ \begin{cases}
\det A = 0 \implies conica \ degenere \\
\det A \neq 0 \implies conica \ non \ degenere \end{cases} \]
Se la conica è non degenere, si può stabilire di quale si tratti con il determinante della parte quadratica $Q$:
\[ Q = \left ( \begin{matrix}
a & b \\
b & c \\ \end{matrix} \right ) \]
Ora si hanno tre casi:
\[ \begin{cases}
\det Q = 0 \implies parabola \\
\det Q > 0 \implies ellisse \\
\det Q < 0 \implies iperbole \end{cases} \]
Nel caso dell'ellisse bisogna stabilire anche se si tratti di un ellisse reale o immaginario. Ci sono vari modi per stabilirlo, ma il più immediato è studiare il segno della traccia di $Q$ e del determinante di A:
Se [tex]tr \ (Q) \cdot \det (A) > 0[/tex], l'ellisse sarà immaginaria; se, invece, [tex]tr \ (Q) \cdot \det (A) < 0[/tex], l'ellisse sarà reale.
Si possono stabilire anche altre caratteristiche utilizzando gli invarianti (cioè, [tex]\det A, \ tr \ Q, \det Q[/tex]), ma principalmente sono queste.
Se, da come mi sembra di capire, non ti è chiaro perchè se il determinante di $Q$ è nullo allora si tratta di una parabola, la spiegazione può essere intuita in questo modo:
Nel caso della parabola, sappiamo per definizione che uno degli autovalori di $Q$ è uguale a $0$. Ricordando che una matrice con un autovalore nullo deve essere singolare (cioè deve avere determinante nullo), concludiamo che il determinante di $Q$ deve essere nullo. Quindi, quando è nullo si tratta di una parabola!
Se non ti è chiaro qualcosa, chiedi pure
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo