Dubbio su come definire la seguente topologia
Ho il rivestimento $ p: \mathbb{R} \rightarrow \bb{S}^1$ definito come: $p(t)= (cos(2 \pi t), sin(2 \pi t)) $ e sia $T$ la topologia su $[0,1]$ definita come la meno fine che rende $p: [0,1] \rightarrow \bb{S}^1 $ continua.
Il mio dubbio è: questa topologia coincide con la topologia di sottospazio?
perchè ho considerato che affinché $T$ sia la meno fine che rende $p$ continua devo definire gli aperti di $[0,1]$ come: $ \bb{p}^-1 (U) \cap [0,1] $ con $U$ aperto di $\bb{S}^1$ ma poichè $p$ è un rivestimento $\Rightarrow$ è un'identificazione (poiché é continua surriettiva e aperta) quindi tutti e soli gli aperti di $\mathbb{R}$ sono controimmagini di aperti di $\bb{S}^1$. E da questo ho dedotto che $T$ dovesse essere la topologi di sottospazio. il mio ragionamento è corretto?
Il mio dubbio è: questa topologia coincide con la topologia di sottospazio?
perchè ho considerato che affinché $T$ sia la meno fine che rende $p$ continua devo definire gli aperti di $[0,1]$ come: $ \bb{p}^-1 (U) \cap [0,1] $ con $U$ aperto di $\bb{S}^1$ ma poichè $p$ è un rivestimento $\Rightarrow$ è un'identificazione (poiché é continua surriettiva e aperta) quindi tutti e soli gli aperti di $\mathbb{R}$ sono controimmagini di aperti di $\bb{S}^1$. E da questo ho dedotto che $T$ dovesse essere la topologi di sottospazio. il mio ragionamento è corretto?
Risposte
No, hai definito bene la topologia \(\displaystyle\mathcal{T}\); così ottieni che \(\displaystyle p\) è continua e suriettiva: ma cosa ti assicura che \(\displaystyle p:([0,1],\mathcal{T})\to(\mathbb{S}^1,\mathcal{T}_{nat})\) (oltre ad essere continua e suriettiva) sia aperta?
Sono sicura che $p$ sia aperta se considerata come applicazione da $p: \mathbb{R} \rightarrow \bb{S}^1 $ e questo mi serve per dire che tutti e soli gli aperti di $\mathbb{R}$ sono controimmagini di aperti di $\bb{S}^1$ (per definizione di identificazione). A questo punto non posso dire che poiché i $ \bb{p}^-1(U) $, con $U$ aperti di $\bb{S}^1 $ , sono gli aperti di $\mathbb{R}$ $\Rightarrow$ $T={ \bb{p}^-1(U) \cap [0,1] } $ è la topologia meno fine che rende $p: [0,1]\rightarrow \bb{S}^1$ continua e coincide con la topologia di sottospazio dove tutti gli aperti di $[0,1]$ sono appunto le intersezioni di $[0,1]$ con aperti di $\mathbb{R}$ ?
"fede_mat11":Ma non è vero: chi è \(\displaystyle p^{-1}\left(p\left(\left]0,\frac{1}{2}\right[\right)\right)\)?
...tutti e soli gli aperti di $ \mathbb{R} $ sono controimmagini di aperti di $ \bb{S}^1 $...
Hai ragione mi sono confusa. Se ho un'identificazione, gli aperti di $ \bb{S}^1 $ sono tutti e soli gli insiemi dati dalle immagini di aperti saturi di $\mathbb{R} $, ma gli aperti saturi non sono gli unici aperti di $\mathbb{R}$ (come dimostra il tuo esempio). Quindi, in pratica, la topologia che si viene a costituire su $[0,1] $ è: $T={ \bb{p}^-1(U) \cap [0,1] } $, la quale è meno fine della topologia di sottospazio poiché definita ponendo gli aperti di $[0,1] $ = intersezioni di aperti saturi di $\mathbb{R}$ con $[0,1]$. Va bene così?
Sì, se per finezza di un topologia intendi "meno" aperti...
Se vuoi puoi divertirti a descrivere quella topologia e studiarla!
Se vuoi puoi divertirti a descrivere quella topologia e studiarla!
Si si intendo che ha meno aperti! 
Però studiare la topologia mi risulta un pò difficile per alcuni aspetti: se volessi dimostrare la semplice connessione dello spazio $X= ([0,1], T)$ mi viene facilmente che lo spazio è connesso per archi ma per dimostare che ha gruppo fondamentale banale mi stanno venendo dei dubbi sul mio raginamento: intuitivamente ho pensato di dimostrare che $X$ è contrattile, cioè dimostrare che l'identità su $X$ è omotopa ad un'applicazione costante (ad esempio l'applicazione costantemente uguale a 0).
Per fare questo ho considerato l'applicazione $F: X$ x $ [0,1] \rightarrow X$ definita come: $ F(x,t)= (1-t)x $, la quale vale 0 se t=1 e vale x se t=0. Il dubbio è: F é effettivamente un'omotopia? e quindi posso concludere così che $([0,1],T)$ ha gruppo fondamentale banale?
Però studiare la topologia mi risulta un pò difficile per alcuni aspetti: se volessi dimostrare la semplice connessione dello spazio $X= ([0,1], T)$ mi viene facilmente che lo spazio è connesso per archi ma per dimostare che ha gruppo fondamentale banale mi stanno venendo dei dubbi sul mio raginamento: intuitivamente ho pensato di dimostrare che $X$ è contrattile, cioè dimostrare che l'identità su $X$ è omotopa ad un'applicazione costante (ad esempio l'applicazione costantemente uguale a 0). Per fare questo ho considerato l'applicazione $F: X$ x $ [0,1] \rightarrow X$ definita come: $ F(x,t)= (1-t)x $, la quale vale 0 se t=1 e vale x se t=0. Il dubbio è: F é effettivamente un'omotopia? e quindi posso concludere così che $([0,1],T)$ ha gruppo fondamentale banale?
Una mia prof.a di inglese disse:"Come potete parlare una lingua senza conoscerne le parole?" mutatis mutandis come puoi studiare una topologia se non espliciti gli insiemi aperti\chiusi della stessa?
la topologia per quanto detto dovrebbe essere $T $= ${ A \cap [0,1] $; A aperto p-saturo di $\mathbb{R} } $
...e chi sono questi aperti \(\displaystyle p\)-saturi? La topologia è connessa (per cammini)? E se ragioni a livello dei gruppi di omotopia ottieni qualche informazione?
Dunque $A$ è $p$-saturo se $\forall$ $x\in A$, $\forall y\in \mathbb{R}$ tale che $p(x)=p(y)$ $\Rightarrow$ $y \in A$ , quindi in pratica se $x\inA$ $\Rightarrow$ $p(\bb{p}^-1(x))$ =${ y\in \mathbb{R}$ $; x-y \in \mathbb{Z} } \subsetA $.
Per dimostrare la connessione per archi ho ragionato considerando l'applicazione indentità: $Id: ([0,1],\mathcal{T}) \rightarrow ([0,1],T)$ con $\mathcal{T}$= topologia di sottospazio su $\mathbb{R}$. L'applicazione è continua poichè sappiamo che la topologia di sottospazio $\mathcal{T}$ è più fine di $T$ e dato che è anche surriettiva e $([0,1],\mathcal{T})$ è connesso per archi, possiamo concludere che anche $([0,1],T)$ lo è. il problema mi viene quando studio il gruppo fondamentale perchè non so se il mio ragionamento precedente è corretto.
Per dimostrare la connessione per archi ho ragionato considerando l'applicazione indentità: $Id: ([0,1],\mathcal{T}) \rightarrow ([0,1],T)$ con $\mathcal{T}$= topologia di sottospazio su $\mathbb{R}$. L'applicazione è continua poichè sappiamo che la topologia di sottospazio $\mathcal{T}$ è più fine di $T$ e dato che è anche surriettiva e $([0,1],\mathcal{T})$ è connesso per archi, possiamo concludere che anche $([0,1],T)$ lo è. il problema mi viene quando studio il gruppo fondamentale perchè non so se il mio ragionamento precedente è corretto.
Io ragionerei in maniera un pò più soft: detta \(\displaystyle\mathcal{T}\) la topologia trovata, su \(\displaystyle]0,1[\) ritroviamo la topologia naturale ed è connesso, la sua chiusura secondo tale topologia è \(\displaystyle[0,1]\) per cui abbiamo uno spazio connesso!
Poi passerei alla connessione per archi come hai fatto te.
Considera il cappio:
\[
\gamma:t\in([0,1],\mathcal{T}_{nat})\to([0,1],\mathcal{T})\ni\begin{cases}
2t\iff t\in\left[0,\displaystyle\frac{1}{2}\right]\\
2(1-t)\iff t\in\left[\displaystyle\frac{1}{2},1\right]
\end{cases}
\]
e la sua immagine mediante \(\displaystyle p\): chi è?, è omotopo al cappio nullo?
Poi passerei alla connessione per archi come hai fatto te.
Considera il cappio:
\[
\gamma:t\in([0,1],\mathcal{T}_{nat})\to([0,1],\mathcal{T})\ni\begin{cases}
2t\iff t\in\left[0,\displaystyle\frac{1}{2}\right]\\
2(1-t)\iff t\in\left[\displaystyle\frac{1}{2},1\right]
\end{cases}
\]
e la sua immagine mediante \(\displaystyle p\): chi è?, è omotopo al cappio nullo?
Considera il cappio:
\[ \gamma:t\in([0,1],\mathcal{T}_{nat})\to([0,1],\mathcal{T})\ni\begin{cases} 2t\iff t\in\left[0,\displaystyle\frac{1}{2}\right]\\ 2(1-t)\iff t\in\left[\displaystyle\frac{1}{2},1\right] \end{cases} \]
Riguardo a $\gamma $ posso dire le seguenti cose:
$p\gamma$ :$ ([0,1],\mathcal{T}_{nat}) \rightarrow \bb^1 $ è un cammino continuo, chiuso, di punto iniziale e finale = (1,0)
tale che: \[ \begin{cases} p\gamma(t)= (cos(4\pi t),sin(4\pi t)) \iff t\in[0,\frac{1}{2}] \\ p\gamma(t)=(cos(4\pi(1-t)), sin(4\pi(1-t))) \iff t\in[\frac{1}{2},1] \end{cases} \] (cioè il cammino che mi percorre prima in senso antiorario poi in senso orario tutta la circonferenza); inoltre posso dire che $\gamma$ è omotopicamente equivalente al cammino nullo se considero l'applicazione $F:[0,1]$x$[0,1] \rightarrow ([0,1],T) $definita come:
\[ F(t,s)= \begin{cases} \gamma(t)(1-2s) \iff s\in [0,\frac{1}{2}] \\ 0 \iff s\in[\frac{1}{2},1] \end{cases} \]
che è un'omotopia tra $\gamma$ e il cammino costantemente uguale a zero.
A questo punto per dire che il gruppo fondamentale $\Pi_{1}(([0,1],T))=0 $ devo mostrare che $\forall \alpha$ cappio in $([0,1],T)$ esso è equivalente a $\gamma$.
Ok a questo punto non so cosa fare. Mi viene solo in mente che il cappio $p\gamma$ può essere sollevato ad un cappio continuo $(p\gamma)_{2}: ([0,1],\mathcal{T}_{nat}) \rightarrow (\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat})$ tale che $(p\gamma)_{2}(0)=0$ e $p(p\gamma)_{2})=p\gamma$ ed essendo $(p\gamma)_{2}$ cammino chiuso su $\mathbb{R}$ è equivalente al cammino nullo.
\[ \gamma:t\in([0,1],\mathcal{T}_{nat})\to([0,1],\mathcal{T})\ni\begin{cases} 2t\iff t\in\left[0,\displaystyle\frac{1}{2}\right]\\ 2(1-t)\iff t\in\left[\displaystyle\frac{1}{2},1\right] \end{cases} \]
Riguardo a $\gamma $ posso dire le seguenti cose:
$p\gamma$ :$ ([0,1],\mathcal{T}_{nat}) \rightarrow \bb
tale che: \[ \begin{cases} p\gamma(t)= (cos(4\pi t),sin(4\pi t)) \iff t\in[0,\frac{1}{2}] \\ p\gamma(t)=(cos(4\pi(1-t)), sin(4\pi(1-t))) \iff t\in[\frac{1}{2},1] \end{cases} \] (cioè il cammino che mi percorre prima in senso antiorario poi in senso orario tutta la circonferenza); inoltre posso dire che $\gamma$ è omotopicamente equivalente al cammino nullo se considero l'applicazione $F:[0,1]$x$[0,1] \rightarrow ([0,1],T) $definita come:
\[ F(t,s)= \begin{cases} \gamma(t)(1-2s) \iff s\in [0,\frac{1}{2}] \\ 0 \iff s\in[\frac{1}{2},1] \end{cases} \]
che è un'omotopia tra $\gamma$ e il cammino costantemente uguale a zero.
A questo punto per dire che il gruppo fondamentale $\Pi_{1}(([0,1],T))=0 $ devo mostrare che $\forall \alpha$ cappio in $([0,1],T)$ esso è equivalente a $\gamma$.
Ok a questo punto non so cosa fare. Mi viene solo in mente che il cappio $p\gamma$ può essere sollevato ad un cappio continuo $(p\gamma)_{2}: ([0,1],\mathcal{T}_{nat}) \rightarrow (\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat})$ tale che $(p\gamma)_{2}(0)=0$ e $p(p\gamma)_{2})=p\gamma$ ed essendo $(p\gamma)_{2}$ cammino chiuso su $\mathbb{R}$ è equivalente al cammino nullo.
Mi sono perso (ci siamo persi?): ti manca da studiare la connessioni per cammini di \(\displaystyle([0,1],\mathcal{T})\), eppoi l'idea di contraibilità di tale spazio topologico non l'hai portata a termine... a me sembra di sì!
si ci siamo persi xD, la connessione per cammini l'ho dimostrata ma non riesco a concludere la dimostrazione della contraibilità dello spazio perchè mi blocco in quel punto
Beh... considera un cammino \(\displaystyle\gamma\) in \(\displaystyle([0,1],\mathcal{T}_{nat})\) e l'identità \(\displaystyle Id:([0,1],\mathcal{T}_{nat})\to([0,1],\mathcal{T})\) e dimostri la connessione per cammini!
si si scusa la connessione per cammini non l'ho dimostrata ho dimostrato quella per archi mi sono confusa! Ah quindi basta semplicemente dire che poiché $([0,1],\mathcal{T}_{nat})$ è semplicemente connesso ed ho $id:([0,1],\mathcal{T}_{nat})$ $\rightarrow$ $([0,1],T)$, per le proprietà funtoriali del $\Pi_{1}$, l'identità tra spazi topologici mi induce l'applicazione identità tra i gruppi fondamentali $id:\Pi_{1}([0,1],\mathcal{T}_{nat})$ $\rightarrow$ $\Pi_{1}([0,1],T)$ $\Rightarrow$ anche $([0,1],T)$ è semplicemente connesso.
Ah quindi basta semplicemente dire che poiché $([0,1],\mathcal{T}_{nat})$ è semplicemente connesso ed ho $id:([0,1],\mathcal{T}_{nat})$ $\rightarrow$ $([0,1],T)$, per le proprietà funtoriali del $\Pi_{1}$, l'identità tra spazi topologici mi induce l'applicazione identità tra i gruppi fondamentali $id:\Pi_{1}([0,1],\mathcal{T}_{nat})$ $\rightarrow$ $\Pi_{1}([0,1],T)$ $\Rightarrow$ anche $([0,1],T)$ è semplicemente connesso.
"fede_mat11":Guarda che la connessione per archi è sinonimo di connessione per cammini; la connessione per poligonali, invece, è un concetto a sé stante!
si si scusa la connessione per cammini non l'ho dimostrata ho dimostrato quella per archi mi sono confusa!
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