Dubbio su campo tensoriale
Ho un piccolo (spero) dubbio su un esempio di campo tensoriale.
Dalla definizione ho che un campo tensoriale $(r,s)$ $O$ è una mappa multilineare $C^\infty$
$O:\Gamma(T^*M)\times...\times\Gamma(T^*M)\times...\times Gamma(TM)\times...Gamma(TM)\tilde{\rightarrow} C^\infty(M)$
dove $Gamma(TM)$ è definito come
$Gamma(TM):={\chi:M\rightarrow TM}$
Ovvero l'insieme delle sezioni "smooth"
Ancora $M$ è la varietà e $TM$ è il "tangent bundle"[nota]non so tradurlo[/nota], ovvero l'unione disgiunta dei vari $T_pM$ (unione su $p\in M$) che rappresentano gli spazi tangenti in un punto della varietà.
Infine
$T_pM:={v_{gamma,p}}$, per curve diverse che passano nello stesso punto $p$.
Ora ho un dubbio quando provo a fare un esempio. Negli appunti ho scritto:
Il gradiente $df$ è un campo tensoriale $(0,1)$.
$df:\Gamma(TM)tilde{\rightarrow}C^\infty(M)$
quindi
$\chi\rightarrow df(\chi):=\chi f$
Come agisce $chi$ su $f$?
In questo modo qua:
$(\chi f)(p):=\chi(p)f$
con $p\in M$
Poi ho scritto che quindi $chi f$ è una funzione.
La mia domanda: è la variabile $p$ che giustifica
$\chi\rightarrow df(\chi):=\chi f$?
Grazie
Dalla definizione ho che un campo tensoriale $(r,s)$ $O$ è una mappa multilineare $C^\infty$
$O:\Gamma(T^*M)\times...\times\Gamma(T^*M)\times...\times Gamma(TM)\times...Gamma(TM)\tilde{\rightarrow} C^\infty(M)$
dove $Gamma(TM)$ è definito come
$Gamma(TM):={\chi:M\rightarrow TM}$
Ovvero l'insieme delle sezioni "smooth"
Ancora $M$ è la varietà e $TM$ è il "tangent bundle"[nota]non so tradurlo[/nota], ovvero l'unione disgiunta dei vari $T_pM$ (unione su $p\in M$) che rappresentano gli spazi tangenti in un punto della varietà.
Infine
$T_pM:={v_{gamma,p}}$, per curve diverse che passano nello stesso punto $p$.
Ora ho un dubbio quando provo a fare un esempio. Negli appunti ho scritto:
Il gradiente $df$ è un campo tensoriale $(0,1)$.
$df:\Gamma(TM)tilde{\rightarrow}C^\infty(M)$
quindi
$\chi\rightarrow df(\chi):=\chi f$
Come agisce $chi$ su $f$?
In questo modo qua:
$(\chi f)(p):=\chi(p)f$
con $p\in M$
Poi ho scritto che quindi $chi f$ è una funzione.
La mia domanda: è la variabile $p$ che giustifica
$\chi\rightarrow df(\chi):=\chi f$?
Grazie
Risposte
"Spremiagrumi":
... "tangent bundle"[nota]non so tradurlo[/nota]...
"fibrato tangente"!?
E cosa vorrebbe dire quella faccina?
[ot]
"Spremiagrumi":"Rolling Eyes"[/ot]
E cosa vorrebbe dire quella faccina?
Ruotali su tua mamma gli occhi.
\(\chi\) agisce su \(f\) in modo piuttosto semplice. Anche se la spiegazione dipende un po' dalla varie definizioni usate. Per esempio \(\displaystyle \chi_p f = \frac{d (f\circ c_p)}{dt}\) per ogni curva \(c_p\) associata a \(\chi\) nel punto \(p\). In sostanza non è altro che la derivata direzionale nella direzione del vettore tangente.
Non ho capito fino in fondo il tuo ultimo dubbio comunque quella funzione è definita puntualmente. Quello che manca da dimostrare è la differenziabilità.
Non ho capito fino in fondo il tuo ultimo dubbio comunque quella funzione è definita puntualmente. Quello che manca da dimostrare è la differenziabilità.
La differenziabilità la ho dimostrata anche se non la ho scritta qui.
Il dubbio era che questa roba
\( \displaystyle \chi_p f = \frac{d (f\circ c_p)}{dt} \)
è un numero e non una funzione. Ma $df(chi)$ dovrebbe rendere una funzione e non un numero
$ \chi\rightarrow df(\chi):=\chi f $.
La variabile che rende $chi f$ una funzione è $p$ quindi. Voglio dire, posso calcolarla per ogni $p\in M$. GIusto?
Il dubbio era che questa roba
\( \displaystyle \chi_p f = \frac{d (f\circ c_p)}{dt} \)
è un numero e non una funzione. Ma $df(chi)$ dovrebbe rendere una funzione e non un numero
$ \chi\rightarrow df(\chi):=\chi f $.
La variabile che rende $chi f$ una funzione è $p$ quindi. Voglio dire, posso calcolarla per ogni $p\in M$. GIusto?
[ot]
[/ot]
"Spremiagrumi":sei molto rispettoso delle madri altrui ... la tua è una provocazione?
Ruotali su tua mamma gli occhi.
[/ot]
Una funzione è definita dal suo valore in ogni punto.
Ok, grazie dell'aiuto.
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