Dubbio su calcolo del ker!!
Salve a tutti!
Avrei un dubbio riguardante ad un esercizio che mi è capitato ultimamente:
Dato l'endomorfismo T : $R^3$ ---> $R^3$ tale che
T $((1),(1),(0))$ = $((2),(2),(0))$ T$((0),(1),(1))$ = $((1),(2),(1))$ T$((0),(0),(1))$= $((0),(0),(0))$
- Verifica che B = $((1),(1),(0))$, $((1),(2),(1))$, $((0),(0),(1))$ è una Base di $R^3$ e deducine che T è ben definito;
- scrivi la matrice A che rappresenta T rispetto alla base B (che non è la base canonica!);
- calcolando il rango di A stabilisci se T è iniettiva, suriettiva , invertibile;
- scrivi una base dell'immagine di T e una base del nucleo di T.
Ora per quanto riguarda il primo punto basta vedere se i vettori di B sono linearmente indipendenti ( lo sono quindi è una base), però non riesco a capire cosa intende per T ben definita??
Il problema si pone dal secondo punto in poi perchè praticamente trovando la matrice A che rappresenta T rispetto alla base B mi ritrovo ad avere dim Im T = 2 e quindi per essere lineare il kerT Deve essere per forza uguale ad 1 (dimV= rg A + KerT) ma calcolando i valori del KerT mi ritrovo x=0 ed y=0 quindi il ker è = 0 !! Ed è impossibile altrimenti non sarebbe lineare a meno che kerT = $((0),(0),(0))$ viene considerato di dimensione 1.
Per essere più chiari la matrice A l'ho calcolata secondo il seguente metodo:
T $((1),(1),(0))$ = a*T$((1),(1),(0))$ +b*T$((0),(1),(1))$ +c*T$((0),(0),(1))$ faccio sistema e trovo : a, b, c
le sostituisco trasformo T e alla fine ottengo $((2),(2),(0))$ che altro non è che la trasformazione scritta in partenza. Faccio lo stesso per gli altri due e alla fine scrivo i risultati sulla matrice A= $((2,3,0),(2,4,0),(0,1,0))$ la riduco a scala e mi trovo A=$((2,3,0),(0,1,0),(0,0,0))$ il rango della Matrice è 2 quindi T non è nè iniettiva , nè suriettiva , nè invertibile giusto? in Quanto nè dimV = rgA nè rgA = dimW. Considerando la matrice precedente per scrivere la base di ImT basta considerare i vettore che contengono i pivot.
Ditemi dove sbaglio vi prego è da un giorno che sto cercando una soluzione a questo problema!
Avrei un dubbio riguardante ad un esercizio che mi è capitato ultimamente:
Dato l'endomorfismo T : $R^3$ ---> $R^3$ tale che
T $((1),(1),(0))$ = $((2),(2),(0))$ T$((0),(1),(1))$ = $((1),(2),(1))$ T$((0),(0),(1))$= $((0),(0),(0))$
- Verifica che B = $((1),(1),(0))$, $((1),(2),(1))$, $((0),(0),(1))$ è una Base di $R^3$ e deducine che T è ben definito;
- scrivi la matrice A che rappresenta T rispetto alla base B (che non è la base canonica!);
- calcolando il rango di A stabilisci se T è iniettiva, suriettiva , invertibile;
- scrivi una base dell'immagine di T e una base del nucleo di T.
Ora per quanto riguarda il primo punto basta vedere se i vettori di B sono linearmente indipendenti ( lo sono quindi è una base), però non riesco a capire cosa intende per T ben definita??
Il problema si pone dal secondo punto in poi perchè praticamente trovando la matrice A che rappresenta T rispetto alla base B mi ritrovo ad avere dim Im T = 2 e quindi per essere lineare il kerT Deve essere per forza uguale ad 1 (dimV= rg A + KerT) ma calcolando i valori del KerT mi ritrovo x=0 ed y=0 quindi il ker è = 0 !! Ed è impossibile altrimenti non sarebbe lineare a meno che kerT = $((0),(0),(0))$ viene considerato di dimensione 1.
Per essere più chiari la matrice A l'ho calcolata secondo il seguente metodo:
T $((1),(1),(0))$ = a*T$((1),(1),(0))$ +b*T$((0),(1),(1))$ +c*T$((0),(0),(1))$ faccio sistema e trovo : a, b, c
le sostituisco trasformo T e alla fine ottengo $((2),(2),(0))$ che altro non è che la trasformazione scritta in partenza. Faccio lo stesso per gli altri due e alla fine scrivo i risultati sulla matrice A= $((2,3,0),(2,4,0),(0,1,0))$ la riduco a scala e mi trovo A=$((2,3,0),(0,1,0),(0,0,0))$ il rango della Matrice è 2 quindi T non è nè iniettiva , nè suriettiva , nè invertibile giusto? in Quanto nè dimV = rgA nè rgA = dimW. Considerando la matrice precedente per scrivere la base di ImT basta considerare i vettore che contengono i pivot.
Ditemi dove sbaglio vi prego è da un giorno che sto cercando una soluzione a questo problema!
Risposte
"sasha091":
Ora per quanto riguarda il primo punto basta vedere se i vettori di B sono linearmente indipendenti ( lo sono quindi è una base), però non riesco a capire cosa intende per T ben definita??
Intende dire semplicemente che devi verificare che l'applicazione che soddisfa alle condizione date sia unica.
"sasha091":
kerT = $((0),(0),(0))$ viene considerato di dimensione 1.
Qui hai sbagliato qualcosa. Infatti un sottospazio vettoriale banale (contentente solo il vettore nullo) ha dimensione $0$.
"Seneca":
Intende dire semplicemente che devi verificare che l'applicazione che soddisfa alle condizione date sia unica.
Quindi devo scrivere l'applicazione lineare associata oppure basta dire che è unica da teorema?
"sasha091":
kerT = $((0),(0),(0))$ viene considerato di dimensione 1.
Senza dubbio quel ker non può essere corretto ma non capisco cosa sbaglio, il problema dovrebbe essere nel calcolo della matrice ma ho fatto e rifatto i passaggi mille volte e sono corretti a meno che è il procedimento ad essere sbagliato quindi dovrei rifare tutto da capo..
Vorrei davvero uscirne fuori, non potresti indicarmi l'errore?
Potresti scrivere per bene le condizioni soddisfatte dall'endomorfismo $f$? Quali vettori vengono mandati in quali vettori?
"Seneca":
Potresti scrivere per bene le condizioni soddisfatte dall'endomorfismo $f$? Quali vettori vengono mandati in quali vettori?
Scusami non mi ero proprio accorto di aver tralasciato l'ultimo T! Ho corretto il messaggio iniziale, spero davvero che riuscirai ad aiutarmi!!
$T ((1),(1),(0)) = ((2),(2),(0))$ $T((0),(1),(1)) = ((1),(2),(1))$ $T((0),(0),(1)) = ((0),(0),(0))$
Già dal testo vedi subito che il nucleo ha almeno dimensione $1$... Infatti $<((0),(0),(1))> subseteq "Ker" (T)$
Comunque...
Per scrivere la matrice rispetto alla base $B$ data devi conoscere i trasformati dei vettori di tale base (e per ora non hai questa informazione).
$T ((1),(2),(1)) = T ((1),(1),(0)) + T ((0),(1),(1)) = ((2),(2),(0)) + ((1),(2),(1)) = ((3),(4),(1))$
La matrice $A$ la trovi determinando le coordinate dei vettori $T(v_1) = T ((1),(1),(0)$ , $T(v_2) = T((1),(2),(1))$ , $T(v_3) = T((0),(0),(1))$ rispetto alla base $B$.
$((2),(2),(0)) = a v_1 + b v_2 + c v_3$
Da cui, immediatamente, $a = 2$ , $b = 0$ , $c = 0$.
$((3),(4),(1)) = a v_1 + b v_2 + c v_3$, $a = 2$, $b = 1$ , $c = 0$.
E infine le coordinate di $T(v_3)$ sono $(0,0,0)$.
$A = ((2, 2 , 0),(0,1,0),(0,0,0))$
Controlla i calcoli, per favore.
Già dal testo vedi subito che il nucleo ha almeno dimensione $1$... Infatti $<((0),(0),(1))> subseteq "Ker" (T)$
Comunque...
Per scrivere la matrice rispetto alla base $B$ data devi conoscere i trasformati dei vettori di tale base (e per ora non hai questa informazione).
$T ((1),(2),(1)) = T ((1),(1),(0)) + T ((0),(1),(1)) = ((2),(2),(0)) + ((1),(2),(1)) = ((3),(4),(1))$
La matrice $A$ la trovi determinando le coordinate dei vettori $T(v_1) = T ((1),(1),(0)$ , $T(v_2) = T((1),(2),(1))$ , $T(v_3) = T((0),(0),(1))$ rispetto alla base $B$.
$((2),(2),(0)) = a v_1 + b v_2 + c v_3$
Da cui, immediatamente, $a = 2$ , $b = 0$ , $c = 0$.
$((3),(4),(1)) = a v_1 + b v_2 + c v_3$, $a = 2$, $b = 1$ , $c = 0$.
E infine le coordinate di $T(v_3)$ sono $(0,0,0)$.
$A = ((2, 2 , 0),(0,1,0),(0,0,0))$
Controlla i calcoli, per favore.
"Seneca":
$T ((1),(1),(0)) = ((2),(2),(0))$ $T((0),(1),(1)) = ((1),(2),(1))$ $T((0),(0),(1)) = ((0),(0),(0))$
Già dal testo vedi subito che il nucleo ha almeno dimensione $1$... Infatti $<((0),(0),(1))> subseteq "Ker" (T)$
Comunque...
Per scrivere la matrice rispetto alla base $B$ data devi conoscere i trasformati dei vettori di tale base (e per ora non hai questa informazione).
$T ((1),(2),(1)) = T ((1),(1),(0)) + T ((0),(1),(1)) = ((2),(2),(0)) + ((1),(2),(1)) = ((3),(4),(1))$
La matrice $A$ la trovi determinando le coordinate dei vettori $T(v_1) = T ((1),(1),(0)$ , $T(v_2) = T((1),(2),(1))$ , $T(v_3) = T((0),(0),(1))$ rispetto alla base $B$.
$((2),(2),(0)) = a v_1 + b v_2 + c v_3$
Da cui, immediatamente, $a = 2$ , $b = 0$ , $c = 0$.
$((3),(4),(1)) = a v_1 + b v_2 + c v_3$, $a = 2$, $b = 1$ , $c = 0$.
E infine le coordinate di $T(v_3)$ sono $(0,0,0)$.
$A = ((2, 2 , 0),(0,1,0),(0,0,0))$
Controlla i calcoli, per favore.
Tutto giusto praticamente una volta trovato i trasformati non ho calcolato le coordinate e li ho inseriti dentro la matrice belli e crudi! Comunque.. anche con il procedimento giusto si ottiene una matrice di rango = 2 quindi T non è nè iniettiva , nè suriettiva , nè invertibile giusto? in Quanto nè dimV = rgA nè rgA = dimW
questo non mi permette di chiarirmi il problema che era riguardante il Ker in quanto ponendo il sistema Ax = 0 mi trovo di nuovo x = 0 ed y = 0!!
Vuoi risolvere il sistema:
$A x = 0$
per trovare il nucleo di $T$, giusto?
Allora hai e seguenti equazioni:
$2 x_1 + 2 x_2 = 0$
$x_2 = 0$
da cui si deduce che $x_1 = 0$
Quindi $x = ( 0 , 0 , x_3 ) = x_3 ( 0 , 0 , 1)$.
Il nucleo è quindi un sottospazio di $RR^3$ che ha dimensione $1$. Il vettore $(0, 0 , 1)$ è una base di $Ker T$.
$A x = 0$
per trovare il nucleo di $T$, giusto?
Allora hai e seguenti equazioni:
$2 x_1 + 2 x_2 = 0$
$x_2 = 0$
da cui si deduce che $x_1 = 0$
Quindi $x = ( 0 , 0 , x_3 ) = x_3 ( 0 , 0 , 1)$.
Il nucleo è quindi un sottospazio di $RR^3$ che ha dimensione $1$. Il vettore $(0, 0 , 1)$ è una base di $Ker T$.
Ne ero sicuro che x3 che non compariva nel sistema doveva essere considerato lo stesso!!
Sei stato Gentilissimo e mi hai anche chiarito come si calcola la matrice associata a B!
Grazie, grazie davvero!
Sei stato Gentilissimo e mi hai anche chiarito come si calcola la matrice associata a B!
Grazie, grazie davvero!
"Seneca":
Vuoi risolvere il sistema:
Un'ultima cosa: quindi per quanto riguarda vedere se la funzione è iniettiva, suriettiva e invertibile il procedimento che ho usato è corretto? Cioè dato il rango di A = 2 dim di V = 3 e dim di W = 3, la funzione T non è nessuna di queste in quanto nn soddisfa le uguaglianze
Non capisco cos'è $W$...
L'iniettività salta una volta constatato che il nucleo non è banale. Dalla formula di dimensione per applicazioni lineari si ha che:
$dim (V) = dim Ker(T) + dim Im(T)$
Quindi la dimensione dell'immagine è $2$ ed è evidente che salta pure la suriettività!
Una base del nucleo la si trova risolvendo $A x = 0$. Hai trovato una base dell'immagine, invece?
L'iniettività salta una volta constatato che il nucleo non è banale. Dalla formula di dimensione per applicazioni lineari si ha che:
$dim (V) = dim Ker(T) + dim Im(T)$
Quindi la dimensione dell'immagine è $2$ ed è evidente che salta pure la suriettività!
Una base del nucleo la si trova risolvendo $A x = 0$. Hai trovato una base dell'immagine, invece?
Per W intendo la base B, quindi dim(W) = 3 quindi avevo fatto giusto, per quanto riguarda la base dell'immagine avevo scritto come l'ho calcolata nel primo messaggio comunque basterebbe prendere la matrice A ( che è già ridotta) e considerare i due vettori che contengono i pivot quindi la base di imT = $((2),(0),(0))$ , $((2),(1),(0))$
Un'ultima precisazione:
Questo non vuol dire niente. Forse volevi scrivere che $W$ è il sottospazio di $RR^3$ generato dai vettori della base $B$. $W = RR^3$.
"sasha091":
Per W intendo la base B, quindi dim(W) = 3
Questo non vuol dire niente. Forse volevi scrivere che $W$ è il sottospazio di $RR^3$ generato dai vettori della base $B$. $W = RR^3$.
Si, precisamente..
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