Dubbio su BCH

[rasakkandar]

Ho un dubbio forse stupido sulla formula di Baker-Campbell-Hausdorff. Si ha in generale: \[\exp(A)\exp(B)=\exp(A+B+Z),\] dove \(Z=\frac{1}{2}[A,B]+...\) è la serie dei commutatori annidati. Se invece dovessi partire da \(\exp(A+B)\) e volessi separare l'esponenziale individuando \(\exp A\) e \(\exp B\), qual è la formula corretta?

[solaàl]

Beh, se \(e^{A+B}=C\), allora \(A+B = \log C\); questo ti dà una condizione (lineare in $A,B$). Se ne trovi un'altra, $A,B$ sono uniche. In generale non è facile, e il problema viene risolto solo per matrici nell'immagine del logaritmo: https://groupprops.subwiki.org/wiki/Inv ... ff_formula https://mathoverflow.net/questions/3228 ... -hausdorff

[rasakkandar]

Grazie della risposta. Mi sembrava un problema banale, ma effettivamente uno non può invertire la formula nel modo intuitivo (moltiplicare per $exp(-Z)$ richiederebbe nuovamente l'uso della formula stessa...). Proverò a guardare l'articolo linkato.