Dubbio su basi e spazio vettoriale dei polinomi

[fransis2]

rileggendo la definizione di base, ho che, dato uno spazio vettoriale V, se B è un sottoinsieme di V (non c'è scritto finito) allora B è una base di V se B è linearmente indipendente e se V=span(B). Sia K un campo. Allora K[x], l'insieme dei polinomi con coefficienti in K, è uno spazio vettoriale. Ora io ho 2 dubbi:
1) una base di K[x] è C={1,x,x^2,..,}, l'insieme degli x^n per ogni n intero non negativo?
2) non ho capito bene se con K[x] si intende l'insieme dei polinomi di grado qualsiasi ma con un numero di coefficienti diversi da zero finito oppure se si includono anche quelli che non hanno grado massimo ( intendo i polinomi con un numero non finito di coefficienti diversi da 0, ad esempio il polinomio che ha come i-esimo coefficiente $(1/2)^i$). Per ognuna dei 2 casi ho che C è comunque una base di K[x], in quanto C genera K[x] nei 2 casi (dove però per generare anche qui c'è ambiguità poichè dipende se si considerano le combinazioni lineari infinite o se solo quelle con un numero finito di somme) e C è linermente indipendente.

[Studente Anonimo]

"fransis2":1) una base di K[x] è C={1,x,x^2,..,}, l'insieme degli x^n per ogni n intero non negativo?

Sì.

"fransis2":2) non ho capito bene se con K[x] si intende l'insieme dei polinomi di grado qualsiasi ma con un numero di coefficienti diversi da zero finito oppure se si includono anche quelli che non hanno grado massimo ( intendo i polinomi con un numero non finito di coefficienti diversi da 0, ad esempio il polinomio che ha come i-esimo coefficiente $(1/2)^i$). Per ognuna dei 2 casi ho che C è comunque una base di K[x], in quanto C genera K[x] nei 2 casi (dove però per generare anche qui c'è ambiguità poichè dipende se si considerano le combinazioni lineari infinite o se solo quelle con un numero finito di somme) e C è linermente indipendente.

Nel concetto di "generare" non sono ammesse combinazioni lineari infinite, perché in un generico spazio vettoriale si può parlare solo di combinazioni lineari finite (la somma in uno s.v. $V$ è una funzione $V times V to V$).
$K[X]$ è per definizione l'insieme delle funzioni $NN to K$ a supporto finito (il supporto di una funzione è l'insieme degli elementi in cui essa non si annulla), e una tale funzione si può scrivere nel modo solito come un polinomio intendendo che l'immagine di $i$ è il coefficiente di $x^i$. Quindi la serie formale $sum_i (1/2)^i x^i$ non sta in $K[X]$ (per contro sta in $K[[X]]$).

[Studente Anonimo]

"Sergio":[quote="Martino"]Nel concetto di "generare" non sono ammesse combinazioni lineari infinite, perché in un generico spazio vettoriale si può parlare solo di combinazioni lineari finite (la somma in uno s.v. $V$ è una funzione $V times V to V$).

Va be' che mi sono appena fatto un limoncello, ma sei riuscito proprio a stupirmi!
Vorresti forse dire che esistono solo spazi vettoriali finitamente generati?[/quote]

Beh no, per esempio $K[X]$ non è finitamente generato come $K$-spazio vettoriale.
Sto dicendo che non ha senso a priori in uno spazio vettoriale fare una somma infinita di vettori, a meno che non ci sia una qualche altra struttura che lo permetta dando nel contempo senso alla cosa.
Per esempio la somma infinita $sum_i x^i$ non sta nell'anello dei polinomi $K[X]$. Beh, su questo non ci sono dubbi credo

"Sergio":PS: Perdona l'ignoranza, ma cosa è $K[[X]]$?

L'anello delle serie formali in una indeterminata. Formalmente $K[[X]]$ è per definizione $K^{NN}$, ovvero l'insieme delle funzioni $NN to K$. Lo si dota della somma per componenti e del prodotto alla Cauchy, e diventa un anello. Per maggiori informazioni qui (fedele wiki ).