Dubbio su base e dimensione spazio vettoriale.

[Giapan91]

Salve a tutti, ho in pratica un esercizio che ho svolto al 90%, ovvero dopo aver fatto i primi due passaggi e ad aver calcolato le dimensioni, sono incapace di trovare una base.

Dati i due sottospazi & U=[ (x -2y -z = 0), (2x -y -2z +t = 0) ] e W= L [ (-2,1,0,1), (1,0,1,0), (0,1,2,1) ] $

L'esercizio chiede di determinare la dimensione e una base di $U+W $(i primi punti chiedevano semplicemente le basi e le dim singole).

Io ho trovato che la dimensione è 3, ma non ho la più pallida idea di calcolare una base di U+W.
Qualcuno mi può dare delucidazioni a riguardo?

[Gi81]

$U$ e $W$ sono sottospazi di $RR^3$, quindi anche $U+W$ lo è.
E dato che ha dimensione $3$...

edit: no, mi sono sbagliato. Siamo in $RR^4$.
Perdonami, avevo letto male

[Sk_Anonymous]

Ciao, allora, devi esplicitaree innanzitutto lo spazio U. Sai qual è la relazione tra le coordinate dei vettori dello spazio U, quindi, basta che risolvi quel sistema lineare e ne calcoli le soluzioni: esse rappresentano le coordinate dei vettori di U. Poi calcoli una base di U e una base di W. A questo punto, i generatori di U+W sono l'unione dei generatori di U e di W, quindi scrivi la matrice associata all'insieme di tutti i generatori e ne calcoli il rango, che ti dirà la dimensione di U+W e di conseguenza anche la base.

[Giapan91]

allora, io ho risolto i sistemi di U e di W e mi trovo così:
$ U: x=z $ e $y=0 $ mentre $ W: x= -z, y= -2z, t= -2z$
ora cosa dovrei fare? non mi è chiaro il procedimento, devo unire le soluzioni dei due sistemi?
p.s. per quanto riguarda la dimensione non c'è problema, quella so calcolarla, è solo la base che non ho ben capito come trovarla.