Dubbio su autovettori e autovalori
Ciao a tutti quanti!!!
ho un piccolo dubbio sulla diagonalizzazione di un a matrice
mi è stato dato questo esercizio: dire se la seguente metrice M è diagonalizzabile, trovare autovettori e relativi autovalori reali
$ ( ( -6 , 2 , -5 ),( -4 , 4 , -2 ),( 10 , -3 , 8 ) ) $
io ho usato questo procedimento:
ho fatto il mio pol caratteristico e mi viene di terzo grado scomponibile: (t-2)*(-t^2+4t-4)
Di conseguenza mi è venuto un unico autovalore con molteplicità algebrica 3 (perchè il delta del pol di 2° grado è = 0 => mi viene ancora come soluzione doppia 2)
A questo punto ho provato a calcolarmi gli autovettori facendo il Ker(M-2I), ora risolvendo mi viene il vettore $ ( ( -3/4 ),( -1/2 ),( 1 ) ) $.
Ha questo punto però mi è sorto un dubbio... Questo vettore lo posso scrivere come comb lineare di e1,e2,e3 (vettori di base canonica) : -3/4*e1 -1/2e2 +e3
e quindi la dimensione dell'autospazio dovrebbe essere 3=> anche la molteplicità geometrica dovrebbe essere 3 e quindi la matrice sarebbe diagonalizzabile....
però nn so se questo ragionamento è giusto.... secondo me commetto qualche sbaglio nell'ultimo passaggio..... potete illuminarmi a tal proposito per favore
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ho un piccolo dubbio sulla diagonalizzazione di un a matrice
mi è stato dato questo esercizio: dire se la seguente metrice M è diagonalizzabile, trovare autovettori e relativi autovalori reali
$ ( ( -6 , 2 , -5 ),( -4 , 4 , -2 ),( 10 , -3 , 8 ) ) $
io ho usato questo procedimento:
ho fatto il mio pol caratteristico e mi viene di terzo grado scomponibile: (t-2)*(-t^2+4t-4)
Di conseguenza mi è venuto un unico autovalore con molteplicità algebrica 3 (perchè il delta del pol di 2° grado è = 0 => mi viene ancora come soluzione doppia 2)
A questo punto ho provato a calcolarmi gli autovettori facendo il Ker(M-2I), ora risolvendo mi viene il vettore $ ( ( -3/4 ),( -1/2 ),( 1 ) ) $.
Ha questo punto però mi è sorto un dubbio... Questo vettore lo posso scrivere come comb lineare di e1,e2,e3 (vettori di base canonica) : -3/4*e1 -1/2e2 +e3
e quindi la dimensione dell'autospazio dovrebbe essere 3=> anche la molteplicità geometrica dovrebbe essere 3 e quindi la matrice sarebbe diagonalizzabile....
però nn so se questo ragionamento è giusto.... secondo me commetto qualche sbaglio nell'ultimo passaggio..... potete illuminarmi a tal proposito per favore
...
Risposte
Controlla il polinomio caratteristico.
Hai sbagliato i conti.
P.S. Benvenuto!
Hai sbagliato i conti.
P.S. Benvenuto!
no nn ho sbagliato i conti
viene la matrice:
$ ( ( -6-t , 2 , -5 ),( -4 , 4-t , -2 ),( 10 , -3 , 8-t ) ) $ e quindi:
-(6+t)(4-t)(8-t)-100-(-200+50t-64+8t-36-6t)=$ -t^3+6t^2-12t+8 $=> scomponendo con ruffini=>$ (t-2)(-t^2+4t-4)
viene la matrice:
$ ( ( -6-t , 2 , -5 ),( -4 , 4-t , -2 ),( 10 , -3 , 8-t ) ) $ e quindi:
-(6+t)(4-t)(8-t)-100-(-200+50t-64+8t-36-6t)=$ -t^3+6t^2-12t+8 $=> scomponendo con ruffini=>$ (t-2)(-t^2+4t-4)
Hai ragione, scusa. Avevo sbagliato i conti. 
E ho controllato tutti gli altri tuoi conti. Tutto ok.
Risolvendo il sistema $(A-2I)v=0$ trovi l'autospazio relativo all'autovalore $lambda=2$.
Tu l'hai risolto e hai trovato che esso è generato da quel vettore $((-3/4),(-1/2),(1))$.
Ciò significa che una base di $V_2$ è formata da quell'unico elemento e quindi la dimensione dell'autospazio (ovvero la molteplicità geometrica) è $1$.
E' ovvio che esso può essere scritto come combinazione della base canonica di $RR^3$, ma questo non ti dice che la dimensione dell'autospazio è $3$!
Scusami per l'errore che avevo commesso prima. Non sono mai stato bravo con i conti.
E ho controllato tutti gli altri tuoi conti. Tutto ok.
Risolvendo il sistema $(A-2I)v=0$ trovi l'autospazio relativo all'autovalore $lambda=2$.
Tu l'hai risolto e hai trovato che esso è generato da quel vettore $((-3/4),(-1/2),(1))$.
Ciò significa che una base di $V_2$ è formata da quell'unico elemento e quindi la dimensione dell'autospazio (ovvero la molteplicità geometrica) è $1$.
E' ovvio che esso può essere scritto come combinazione della base canonica di $RR^3$, ma questo non ti dice che la dimensione dell'autospazio è $3$!
Scusami per l'errore che avevo commesso prima. Non sono mai stato bravo con i conti.
ok grazie mille per la risposta, mi hai risolto un dubbio... grazie ciao!!!
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