Dubbio su autovettore
Sia f un endomorfismo del $QQ-spazio QQ^3$ tale che $f(e_1) = 3e_1+3e_2+e_3$, $f(e_2) = 3e_1+3e_2+2e_3$ e $f(e_3) = 6e_3$. Determinare autovalori, autovettori e autospazi.
Allora ho scritto la matrice associata alla trasformazione:
$((3,3,0),(3,3,0),(1,2,6))$
e ho calcolato gli autovalori, $k=6$ (autovalore doppio) e $k=0$.
Per $k=0$ ottengo gli autovettori $(6a,-6a,a)$. Una base dell'autospazio è $(6,-6,1)$ e la sua dimensione è $1$.
Per $k=6$ ottengo:
${((-3u_1+3u_2=0),(3u_1-3u_2=0),(u_1+2u_2=0))$
e quindi l'origine $(0,0,0)$.
Dove sto sbagliando?
Grazie,
Mauro
Allora ho scritto la matrice associata alla trasformazione:
$((3,3,0),(3,3,0),(1,2,6))$
e ho calcolato gli autovalori, $k=6$ (autovalore doppio) e $k=0$.
Per $k=0$ ottengo gli autovettori $(6a,-6a,a)$. Una base dell'autospazio è $(6,-6,1)$ e la sua dimensione è $1$.
Per $k=6$ ottengo:
${((-3u_1+3u_2=0),(3u_1-3u_2=0),(u_1+2u_2=0))$
e quindi l'origine $(0,0,0)$.
Dove sto sbagliando?
Grazie,
Mauro
Risposte
La prima equazione e la seconda sono la stessa cosa, quindi basta considerare questo sistema:
$\{{:(3u_1-3u_2=0),(u_1+2u_2=0):}$
$\{{:(u_1-u_2=0),(u_1=-2u_2):}$
$\{{:(u_1=u_2),(u_1=-2u_2):}$
$\{{:(u_1=u_2),(u_2=-2u_2):}$
da cui, $u_1=u_2=0$.
Però $u_3$ è un parametro libero, chiamiamo $u_3=\alpha$, allora il generico autovettore relativo all'autovalore $6$ ha questa forma: $((0),(0),(\alpha))$ cioè $\alpha\cdot((0),(0),(1))$.
Quindi $((0),(0),(1))$ è una base dell'autospazio relativo all'autovalore $6$.
Il tuo errore stava solo nel non aver considerato $u_3$ come parametro libero ma averlo considerato uguale a $0$.
$\{{:(3u_1-3u_2=0),(u_1+2u_2=0):}$
$\{{:(u_1-u_2=0),(u_1=-2u_2):}$
$\{{:(u_1=u_2),(u_1=-2u_2):}$
$\{{:(u_1=u_2),(u_2=-2u_2):}$
da cui, $u_1=u_2=0$.
Però $u_3$ è un parametro libero, chiamiamo $u_3=\alpha$, allora il generico autovettore relativo all'autovalore $6$ ha questa forma: $((0),(0),(\alpha))$ cioè $\alpha\cdot((0),(0),(1))$.
Quindi $((0),(0),(1))$ è una base dell'autospazio relativo all'autovalore $6$.
Il tuo errore stava solo nel non aver considerato $u_3$ come parametro libero ma averlo considerato uguale a $0$.
Mi era sfuggito che $u_3$ fosse un parametro libero, ecco perchè non mi capivo...grazie!!! 
Prego 
Un'ultima cosa...e la sua dimensione è sempre 1? Oppure è 2 perchè l'autovalore è doppio?
La dimensione dell'autospazio è 1, uno solo è il vettore che compone la sua base, ergo l'applicazione non è diagonalizzabile.
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