Dubbio su autospazi e basi ortonormali

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Ho dei dubbi con questo esercizio che è svolto sul libro .

L'esercizio da un endomorfismo in R3 spazio vettoriale euclideo. Viene considerata la base canonica.
Viene chiesto di calcolare gli autovalori e gli autospazi dell'endomorfismo e provare l'esistenza di una base
ortonormale.
La matrice associata all'endomorfismo è

$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , sqrt3/2 , 1/2 ),( 0 , 1/2 , -sqrt3/2 ) ) $

con polinomio caratteristico $ -(lambda-1)^2(lambda+1) $
Quindi gli autolavori sono -1 e 1. Poi calcolo gli autospazi che risultano essere

$ E1= <(0,1,-2-sqrt3)> $ per l'autovalore $ lambda=-1 $

$ E2= <(1,0,0),(0,1,2-sqrt3)> $ per l'autovalore $ lambda=1 $

Ora il vettore che genera E1 è ortogonale ai due che generano E2 giusto? Perchè relativo ad
un autospazio diverso? (questa cosa accade sempre??????)
Poi viene considerato un versore di E1 cioè $ (0,(sqrt6-sqrt2)/4, -(sqrt6+sqrt2)/4) $
Poi il testo dice che i generatori di E2 sono ortogonali tra di loro? perchè il prodotto scalare è nullo vero?
Il prodotto in questo caso è componente per componente no?

Poi dice
Il vettore u2= (1,0,0) è unitario. Poichè $ || u3||= |gamma|(sqrt6-sqrt2) $
al vettore u3 corrispondono due versori

$ u3'=(0,(sqrt6+sqrt2)/4, (sqrt6-sqrt2)/4) $

e

$ u3''=(0,-(sqrt6+sqrt2)/4, -(sqrt6-sqrt2)/4) $
Non capisco perchè corrispondono due versori per u3. Perchè considera modulo di gamma?
Mi aiutate per favore?

[marco.bre]

"Marthy_92":Ciao a tutti ! Ho dei dubbi con questo esercizio che è svolto sul libro .

L'esercizio da un endomorfismo in R3 spazio vettoriale euclideo. Viene considerata la base canonica.
Viene chiesto di calcolare gli autovalori e gli autospazi dell'endomorfismo e provare l'esistenza di una base
ortonormale.
La matrice associata all'endomorfismo è

$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , sqrt3/2 , 1/2 ),( 0 , 1/2 , -sqrt3/2 ) ) $

con polinomio caratteristico $ -(lambda-1)^2(lambda+1) $
Quindi gli autolavori sono -1 e 1. Poi calcolo gli autospazi che risultano essere

$ E1= <(0,1,-2-sqrt3)> $ per l'autovalore $ lambda=-1 $

$ E2= <(1,0,0),(0,1,2-sqrt3)> $ per l'autovalore $ lambda=1 $

Ora il vettore che genera E1 è ortogonale ai due che generano E2 giusto? Perchè relativo ad
un autospazio diverso? (questa cosa accade sempre??????)
Poi viene considerato un versore di E1 cioè $ (0,(sqrt6-sqrt2)/4, -(sqrt6+sqrt2)/4) $
Poi il testo dice che i generatori di E2 sono ortogonali tra di loro? perchè il prodotto scalare è nullo vero?
Il prodotto in questo caso è componente per componente no?

Facciamo chiarezza.

Siamo in $bbbR^3$ spazio vettoriale euclideo, cioè lo spazio vettoriale $bbbR^3$ è munito di un prodotto scalare; visto che non viene specificato quale, è sottointeso che parliamo del prodotto scalare standard che, come penso intendessi tu, "è la somma dei prodotti componente per componente": se $v=(v_1,v_2,v_3)$ e $w=(w_1,w_2,w_3)$ allora
$v cdot w= v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3$
Inoltre, per definizione, $v$ e $w$ sono ortogonali se $v cdot w=0$

Dopo tu dici: "provare l'esistenza di una base ortonormale". Base ortonormale di che cosa? Di $bbbR^3$? Non credo. Forse intendevi dire: dimostrare l'esistenza di una base ortonormale di $bbbR^3$ rispetto alla quale la matrice associata all'endomorfismo è diagonale.

Se questa è la domanda, la risposta è immediata: poichè la matrice associata all'endomorfismo (chiamiamola $A$) è simmetrica, per il teorema spettrale sappiamo che esiste una base ortonormale rispetto alla quale la matrice che rappresente l'endomorfimo è diagonale (o in altri termini, $A$ è simile ad una matrice diagonale mediante una matrice ortogonale)

Passiamo ai conti.

Il polinomio caratteristico è giusto, gli autospazi da me calcolati sono

$A_{-1}=<(0,-2+sqrt3,1)>$
$A_1=<(1,0,0),(0,2+sqrt3)>$

Ora il vettore che genera $A_{-1}$ è ortogonali a entrambi i vettori che generano $A_1$. Questo è sempre vero: nel caso di un operatore simmetrico, autovettori relativi ad autovettori distinti sono ortogonali tra loro (posso dimostrarlo se ti serve. sai cos'è un operatore simmetrico detto anche autoaggiunto?)[nota]da non confondere con l'altro fatto simile: autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. questo vale per ogni operatore, l'ortogonalità vale solo per gli operatori simmetrici[/nota]

Sì, i due avutovettori che generano $A_1$ sono evidentemente ortogonali tra loro.

Dunque ho una base ortogonale di autovettori. Se la normalizzo ottengo una base ortonormale di autovettori (la cui matrice del cambio di base rispetto alla base canonica - che è ortonormale - sarà dunque una matrice ortogonale) rispetto alla quale la matrice associata all'endomorfismo è diagonale. La base cercata è quindi data da

$u_1=(0,-sqrt(2-sqrt3)/2,1/(2sqrt(2-sqrt3)))$
$u_2=(1,0,0)$
$u_3=(0,sqrt(2+sqrt3)/2,1/(2sqrt(2+sqrt3)))$

Riguardo l'ultima parte per favore scrivi meglio perchè non capisco

[marthy_92]

hai ragione marco. bre non ho bene specificato la richiesta, scusami. Essa è

dimostrare l'esistenza di una base ortonormale di R3 rispetto alla quale la matrice associata all'endomorfismo è diagonale.

Sbaglio o i tuoi autovalori vengono diversi dai miei? strano, perchè i miei corrispondono con quelli del libro.

Sapevo che "autovettori relativi ad autovettori distinti sono ortogonali tra loro", ma non ho idea di cosa sia un operatore simmetrico :/

Cerco di essere più chiara nell'ultima parte. Giustamente l'autospazio relativo all'autovalore \( \lambda=1 \) è
\( E2= ( y = \beta(1,0,0) + \gamma(0,1,2- \sqrt3)) \)
con beta e gamma reali

Ora il libro dice che i vettori
\( u2=(1,0,0) \)
\( u3=\gamma(0,1,2- \sqrt3) \)

sono ortgonali. Il vettore u2 è unitario. Poi riporta testuali parole

Piochè \( |u3|=| \gamma|(\sqrt6-\sqrt2) \)

al vettore u3 corrispondono due versori

\( u3'=(0, (\sqrt6+\sqrt2)/4, (\sqrt6-\sqrt2)/4 ) \)

\( u3'=(0, -(\sqrt6+\sqrt2)/4, -(\sqrt6-\sqrt2)/4 ) \)

non riesco a capire perchè in tutto ciò venga considerato anche \( |\gamma| \)

[marco.bre]

ciao, scusa se rispondo solo ora ma ho avuto un grosso impedimento. comunque ho controllato ed effettivamente i calcoli giusti sono i tuoi, perdona la svista ( non sono mai stato un asso nei conti)

"Marthy_92":
Sapevo che "autovettori relativi ad autovettori distinti sono ortogonali tra loro", ma non ho idea di cosa sia un operatore simmetrico

quanto pare non ho evidenziato abbastanza la differenza:

per un operatore qualsiasi si ha che autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti

per un operatore simmetrico si ha che autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali

per ora pensa agli operatori simmetrici come operatori rispetto ai quali la matrice associata è simmetrica. non è nulla di difficile ma per non perdere il filo ti scrivo due righe in spoiler

scrivo due righe giusto per darti un'idea, per le cose fatte seriamente ti rimando a qualsiasi testo di algebra lineare (vedi Sernesi)

$V$ e $W$ spazio vettoriale (di dimensione finita), $<,>_V$ e $<,>_W$ prodotti scalari (definiti positivi) su $V$ e $W$
$L:V to W$ applicazione lineare

(Si dimostra che per ogni $L$) Esiste un'unica applicazione lineare $L':W to V$ tale che valga
$_W=_V forall v in V, w in W$
$L'$ è detta l'aggiunta di $L$

praticamente risulta che se $A$ è la matrice associata a $L$ (rispetto a una arbitraria scelta di basi), la matrice associata all'aggiunta $L'$ (rispetto alle stesse basi) è $A^T$, tant'è che si è soliti indicare l'aggiunta di $L$ con $L^T$
(prova a vedere se riesci a convincertene, N.B. devi sempre lavorare con basi ortonormali)

ora se risulta che la mappa $L^T$ coincide con $L$ allora $L$ è detta applicazione autoaggiunta o simmetrica; risulta chiaro che (mantenendo le notazioni di prima) se $A$ è simmetrica segue che $L$ è simmetrica (lo ammetto, ho liquidato un po' la cosa, vedi se ti è chiaro)

ora passiamo agli endomorfismi
$V$ spazio vettoriale euclideo, $L in text{End}(V)$
$L$ è simmetrico se $= forall v,w in V$
siano $lambda$ e $mu$ autovalori distinti, $v$ e $w$ autovettori relativi a $lambda$ e $mu$ rispettivamente
abbiamo
$==lambda$
$==mu$
poichè $L$ è simmetrico si ha
$lambda=mu$
da cui necessariamentne concludo che $<=0$ ovvero $v$ e $w$ sono ortogonali.

[dgasti]

Buona sera,
scusate se mi intrometto, ma ho trovato questo thread parecchio illuminante! Volevo chiedere un dubbio che mi è sorto leggendo: è possibile che i vettori di un autospazio (in questo caso A1) NON siano ortogonali tra di loro? In quel caso, come posso concludere per trovare una base ortonormale rispetto alla quale la matrice è diagonale?

[marco.bre]

E' possibile che due (auto)vettori di uno stesso autospazio non siano ortogonali?
Direi di sì. L'autospazio relativo all'autovalore $t$ è $text{ker}(A-tI)$ è quindi è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo $(A-tI) cdot x=0$; ad esempio se $y$ è una soluzione di tale sistema pure $alpha y forall alpha in bbbK$ è ancora soluzione e $y cdot alpha y = alpha |y|^2 !=0$ ($y!=0$).
La cosa vera è che: autovettori di un operatore simmetrico relativi ad autovalori distinti sono tra loro ortogonali.

Qual è la ricetta per calcolare la matrice ortogonale "che diagonalizza" $A$?
Calcolo una base ortonormale per ogni autospazio e poi faccio l'unione di tutte queste basi calcolate; ottengo così una base ortonormale di autovettori che quindi diagonalizza l'operatore.
Bisognerebbe poi capire perchè funziona...