Dubbio su applicazioni lineari...
Ho un'applicazione lineare $ f:V sub RR ^3 rarr RR ^(2) $ , dove V ha dimensione 2. Se $ { v,w } $ è una base di V, allora $ { f(v), f(w) } $ è una base di $ f(V) $ ? Oppure servono altre ipotesi per poter affermare questo?
Risposte
Se $f(v)= f(w)$ non va bene
Ok, effettivamente la funzione non è ingettiva. Il mio dubbio sorgeva proprio dal fatto che svolgendo l'esercizio mi viene fuori che $ f(v#=2f#w) $ quindi i due vettori sono linearmente dipendenti... Come potrei fare?
Non so perchè non si vede, ma avevo scritto f(v)=2f(w) 
Si potrebbe dire così:
[*:2l2sp3us]$f(v)!=ul0$;[/*:m:2l2sp3us]
[*:2l2sp3us]$AA k in RR$ si ha $f(w)!= k f(v)$ (o, equivalentemente, \(\not\exists k \in \mathbb{R} \) tale che \(f(v)= k f(w)\))[/*:m:2l2sp3us][/list:u:2l2sp3us]
Per maggiore chiarezza posto l'esercizio.
Es. 2: Si consideri l’applicazione lineare $ f:( RR )^(3) rarr ( RR )^(2) $ tale che
$ f(2,1,1)=(2,1) $ $ f(1, 1, 1) = (0,−1) $ $ f(1,−3, 1) = (2, 2) $ .
a) Determinare la matrice di $ f $ rispetto alle basi canoniche di $ ( RR )^(3) $ e di $ ( RR )^(2) $ ;
b) Stabilire se $ f $ è surgettivo e/o ingettivo;
c) Posto $ V = L((1/2, 1, 1), (1, 5, 1)) $ , determinare una base di $ f(V) $ .
Il mio problema è il punto c, perchè i due vettori sono l.i. e generano V, quindi sono una base di V, ma non riesco a determinare una base di f(V) dal momento che le immagini di questi due vettori risultano essere linearmente dipendenti. Ho provato anche a cercare un altro vettore che appartenesse a V la cui immagine fosse un vettore l.i. da uno delle due immagini precedenti, ma niente...
Es. 2: Si consideri l’applicazione lineare $ f:( RR )^(3) rarr ( RR )^(2) $ tale che
$ f(2,1,1)=(2,1) $ $ f(1, 1, 1) = (0,−1) $ $ f(1,−3, 1) = (2, 2) $ .
a) Determinare la matrice di $ f $ rispetto alle basi canoniche di $ ( RR )^(3) $ e di $ ( RR )^(2) $ ;
b) Stabilire se $ f $ è surgettivo e/o ingettivo;
c) Posto $ V = L((1/2, 1, 1), (1, 5, 1)) $ , determinare una base di $ f(V) $ .
Il mio problema è il punto c, perchè i due vettori sono l.i. e generano V, quindi sono una base di V, ma non riesco a determinare una base di f(V) dal momento che le immagini di questi due vettori risultano essere linearmente dipendenti. Ho provato anche a cercare un altro vettore che appartenesse a V la cui immagine fosse un vettore l.i. da uno delle due immagini precedenti, ma niente...
V è generato dai due vettori (1/2,1,1), (1,5,1)..
$V = L ( v_1 , v_2 )$
$v_1 , v_2$ è una base di $V$. Preso un generico vettore $w$ di $V$, $w = a v_1 + b v_2$ e $f(w) = a f(v_1) + b f(v_2)$. Se sai che i due vettori $f(v_1) , f(v_2) \ne vec(0)$ (io non l'ho controllato) sono linearmente dipendenti, allora $EE k \in RR$ tale che $k f(v_1) = f(v_2)$ ; un vettore dell'immagine si scrive come $f(w) = a f(v_1) + b f(v_2) = (a + b k ) f(v_1)$ e quindi:
$f(V) = L ( f(v_1) )$
$v_1 , v_2$ è una base di $V$. Preso un generico vettore $w$ di $V$, $w = a v_1 + b v_2$ e $f(w) = a f(v_1) + b f(v_2)$. Se sai che i due vettori $f(v_1) , f(v_2) \ne vec(0)$ (io non l'ho controllato) sono linearmente dipendenti, allora $EE k \in RR$ tale che $k f(v_1) = f(v_2)$ ; un vettore dell'immagine si scrive come $f(w) = a f(v_1) + b f(v_2) = (a + b k ) f(v_1)$ e quindi:
$f(V) = L ( f(v_1) )$
Ok, grazie. Ma qui sorge un altro dubbio e cioè, un vettore $ w=(x,y,z) in V hArr w=a(1/2,1,1)+b(1,5,1) $ . Dovrebbe quindi essere $ 1/2a+b=x ^^ a+5b=y ^^ a+b=z $. Ma questo sistema nelle incognite $ a,b $ e nei parametri $ x,y,z $ risulta non avere soluzioni. Possibile? Oppure cosa sbaglio?
Visto che $V$ è solamente un piano vettoriale, è chiaro che quel sistema non ha soluzione per una qualsiasi terna $(x,y,z) \in RR^3$.
Ok, questo l'avevo pensato anch'io, ma non capisco allora come potrei scrivere un generico vettore di V (anche se in questo esercizio non serve).
Aspetta, fai un po' di confusione.
Non puoi cercare una base di una applicazione lineare, non ha senso.
Cerchi una base di un sotto/spazio vettoriale, questo ve bene.
$V$ è un applicazione lineare, non ha un generico vettore da cercare.
Poi ci sono il nucleo di $V$, l'immagine di $V$, in cui puoi parlare di vettori.
Non puoi cercare una base di una applicazione lineare, non ha senso.
Cerchi una base di un sotto/spazio vettoriale, questo ve bene.
$V$ è un applicazione lineare, non ha un generico vettore da cercare.
Poi ci sono il nucleo di $V$, l'immagine di $V$, in cui puoi parlare di vettori.
$ f $ è la mia applicazione, mentre $ V $ è un sottospazio vettoriale di $ RR ^3 $. E' lì che cerco di scrivere un qualsiasi vettore $ w in V $ come combinazione lineare dei vettori della base. So che questo non c'entra niente con la base di $ f(V) $ che sto cercando, anche perchè mi è già stato spiegato come fare 
Mi chiedevo solo come avrei fatto, nel caso in cui l'esercizio l'avesse chiesto, a scrivere un generico vettore di $ V $ . E la domanda resta ancora
Mi chiedevo solo come avrei fatto, nel caso in cui l'esercizio l'avesse chiesto, a scrivere un generico vettore di $ V $ . E la domanda resta ancora
$w$ è un vettore del tipo $w = (1/2a+b , a+5b , a+b ) $.
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