Dubbio semplificazione del prodotto matrice vettore
Ieri, mentre facevo un esercizio dal libro, mi imbatto in un dubbio atroce...dovevo dimostrare il seguente punto
1) Su $RR^n$ si consideri il prodotto scalare standard e sia $F$ il sottospazio vettoriale di $Mn$={ $A in Mn(RR) t.c. Av in (span(v))^(_|_) AA v in RR^n $ }. Si dimostri che $F$ coincide con l'insieme della matrici asimettriche.
Visto che stiamo trattando il prodotto scalare standard, posso prendere la matrice identità $I$ come la matrice associata al prodotto scalare. Praticamente, pensavo, che se $A in F$, allora passando in coordinate $[v]=X$, $X^t A X = X^t A^t X = 0$, e questo vale $AA X in RR^n$, da cui ho pesnato di poter semplificare la faccenda mandandno via $X$ e $X^t$ e quindi avere $A=A^t = 0$... anzichè la tesi!!! ho visto le soluzioni e ho capito l'esercizio... però non riesco ancora a capire perchè non posso "semplificare" come ho fatto... non è lo stesso modo in cui si fa vedere che la matrice autoaggiunta di un prodotto scalare definito positivo è simmetrica?? ovvero:
se f è autoggiunta per il prodotto scalare definito positivo $del$, allora $del (f(v),w) = del (v, f(w)) AA v,w in V$. Passando in coordinate rispetto alla base ortonormalaizzante, $Y=[w]$ e $X=[v]$, e associando la matrice $A$ all'endomorfismo $f$, ho $(AX)^t Y = X^t A Y rarr X^t A^t Y = X^t A Y$ e siccome vale $AA X,Y in RR^n$, ho che $A=A^t$
Non so veramente da che parte rigirarmi...
1) Su $RR^n$ si consideri il prodotto scalare standard e sia $F$ il sottospazio vettoriale di $Mn$={ $A in Mn(RR) t.c. Av in (span(v))^(_|_) AA v in RR^n $ }. Si dimostri che $F$ coincide con l'insieme della matrici asimettriche.
Visto che stiamo trattando il prodotto scalare standard, posso prendere la matrice identità $I$ come la matrice associata al prodotto scalare. Praticamente, pensavo, che se $A in F$, allora passando in coordinate $[v]=X$, $X^t A X = X^t A^t X = 0$, e questo vale $AA X in RR^n$, da cui ho pesnato di poter semplificare la faccenda mandandno via $X$ e $X^t$ e quindi avere $A=A^t = 0$... anzichè la tesi!!! ho visto le soluzioni e ho capito l'esercizio... però non riesco ancora a capire perchè non posso "semplificare" come ho fatto... non è lo stesso modo in cui si fa vedere che la matrice autoaggiunta di un prodotto scalare definito positivo è simmetrica?? ovvero:
se f è autoggiunta per il prodotto scalare definito positivo $del$, allora $del (f(v),w) = del (v, f(w)) AA v,w in V$. Passando in coordinate rispetto alla base ortonormalaizzante, $Y=[w]$ e $X=[v]$, e associando la matrice $A$ all'endomorfismo $f$, ho $(AX)^t Y = X^t A Y rarr X^t A^t Y = X^t A Y$ e siccome vale $AA X,Y in RR^n$, ho che $A=A^t$
Non so veramente da che parte rigirarmi...
Risposte
La dimostrazione dovrebbe essere questa:
$[x^tAx=0] rarr [x^t(A_S+A_A)x=0] rarr [x^tA_Sx+x^tA_Ax=0] rarr [x^tA_Sx=0] rarr [A_S=0] rarr [A=A_A]$
In ogni modo:
$[x^tAx=0] rarr [A=0]$
vale se $[A]$ è simmetrica.
$[x^tAx=0] rarr [x^t(A_S+A_A)x=0] rarr [x^tA_Sx+x^tA_Ax=0] rarr [x^tA_Sx=0] rarr [A_S=0] rarr [A=A_A]$
In ogni modo:
$[x^tAx=0] rarr [A=0]$
vale se $[A]$ è simmetrica.
Praticamente hai diviso la matrice in parte simmetrica e parte asimmetrica perchè sono in somma diretta e generano tutto l'anello delle matrici giusto?? Cmq perchè solo la simmetrica si annulla e non anche quella asimettrica??
"nuwanda":
Praticamente hai diviso la matrice in parte simmetrica e parte asimmetrica perchè sono in somma diretta e generano tutto l'anello delle matrici giusto?
Più semplicemente, ogni matrice può essere vista come somma di una parte simmetrica e di una parte antisimmetrica. Mi sto riferendo alla semplice somma definita nello spazio vettoriale delle matrici.
"nuwanda":
Cmq perchè solo la simmetrica si annulla e non anche quella asimettrica?
Stai facendo confusione. $[x^tA_Ax=0]$ è un'identità, valida indipendentemente dalla generica matrice antisimmetrica $[A_A]$. Utilizzando questa proprietà, giustifichi il seguente passaggio:
"speculor":
$[x^tA_Sx+x^tA_Ax=0] rarr [x^tA_Sx=0]$
Invece, $[x^tA_Sx=0]$ è valida se e solo se $[A_S=0]$. Mediante questa implicazione giustifichi il passaggio successivo:
"speculor":
$[x^tA_Sx=0] rarr [A_S=0]$
Capito!!! Però non capisco perchè una matrice asimettrica si comporta in quel modo... ovvero, che è un'identità $AA x in RR^n$... mi sapresti dare una dimostrazione??
Non è difficile:
$[x^tA_Ax=x^tA_A^tx=-x^tA_Ax] rarr [2x^tA_Ax=0] rarr [x^tA_Ax=0]$
$[x^tA_Ax=x^tA_A^tx=-x^tA_Ax] rarr [2x^tA_Ax=0] rarr [x^tA_Ax=0]$
SCusa, sono duro, ma continuo a non capire... perchè vale la prima uguaglianza $x^t A x = x^t A ^t x$?? è come dire che $A$ è uguale alla sua trasposta, ovvero che $A$ sia simettrica... te stai assumendo le ipotesi del mio esercizio?? ovvero stai facendo il caso $del (Av,v)= del (v,Av)$ con $del$ definito positivo?? in questo caso mi torna... in generale non tanto...
$[x^tAx=x^t A^tx]$ vale sempre. Del resto, $[x^tAx]$ è una matrice formata da un solo elemento. Se ne faccio la trasposta, $[(x^tAx)^t=x^t A^tx]$, evidentemente riottengo l'elemento medesimo.
hai ragione... non ci avevo pensato... trasponi tutto e rigiro... giusto!! grazie delle dritte!!
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