Dubbio Polinomio Minimo di una matrice

[thegeekbay1]

Buonasera a tutti! Sto svolgendo degli esercizi sulla forma canonica di Jordan e sul polinomio minimo, ed ho alcuni dubbi. Ho cercato anche tra le dispense del professore, appunti di lezione ed online, ma non riesco a trovare nulla. Quindi chiedo a voi

1) Il polinomio minimo di una matrice nilpotente è la "dimensione massima" con cui appare lambda?

2) Nel caso in cui una matrice soddisfa due equazioni, ma non è diagonalizzzabile, devo prendere in considerazione solamente i fattori in comune?

$ t^2(t+1)^2(t-1) $ e quest'altra $ t^2(t+1)^3 $

Con queste due equazioni, per esempio, ottengo questo polinomio minimo:

$ t^2(t-1) $

$ (t-1) $ viene scartata solamente perché si tratta di una matrice non diagonale, oppure a prescindere visto che non appare nella fattorizzazione della seconda equazione?

Grazie mille in anticipo

EDIT: Penso di essermi risposto da solo sulla seconda domanda

Attenzione! C'è un'altra ipotesi che non possiamo trascurare! Sappiamo che la matrice A è una matrice non diagonalizzabile e, per il Teorema 2) prima enunciato sappiamo che una matrice è diagonalizzabile se e e solo se il polinomio minimo ha tutte le radici con molteplicità 1.

Quindi, se ho una matrice non diagonalizzabile, devo solamente escludere dalla fattorizzazione i termini con esponente =1?

[Martino]

"thegeekbay":1) Il polinomio minimo di una matrice nilpotente è la "dimensione massima" con cui appare lambda?

Il polinomio minimo di una matrice nilpotente $A$ è $t^n$ dove $n$ è il minor intero positivo tale che $A^n=0$.

2) Nel caso in cui una matrice soddisfa due equazioni, ma non è diagonalizzzabile, devo prendere in considerazione solamente i fattori in comune?

$ t^2(t+1)^2(t-1) $ e quest'altra $ t^2(t+1)^3 $

Con queste due equazioni, per esempio, ottengo questo polinomio minimo:

$ t^2(t-1) $

$ (t-1) $ viene scartata solamente perché si tratta di una matrice non diagonale, oppure a prescindere visto che non appare nella fattorizzazione della seconda equazione?

Non capisco cosa vuoi dire con "ottengo questo polinomio minimo". Se una matrice soddisfa due polinomi soddisferà il loro massimo comun divisore. In questo caso $t^2(t+1)^2$.

Una volta che hai determinato il polinomio minimo, la matrice è diagonalizzabile se tutti gli autovalori appartengono al campo base e hanno molteplicità 1 nel polinomio minimo.