Dubbio Ker
Salve a tutti 
Sono alle prese con questo problema:
Sia $T:RR^3 rarr RR^4$ l'applicazione lineare definita da
$T(x,y,z) = (x-y+2z, x+z, y-z, 2x-y+3z)$
Determinare:
$a)$ una matrice associata a $T$ rispetto alle basi canoniche;
$b)$ equazioni cartesiane, una base e la dimensione del $Ker T$;
$c)$ equazioni parametriche di $Im T$, una base e la dimensione di $Im T$;
$d)$ se $T$ è iniettiva e/o suriettiva;
Allora, per il punto $a)$ devo fare
$T(e_1)=(1,1,0,2)$
$T(e_2)=(-1,0,1,-1)$
$T(e_3)=(2,1,-1,3)$
Matrice associata per colonne $((1,-1,2),(1,0,1),(0,1,-1),(2,-1,3))$
riduco ed ottengo $((1,-1,2),(0,1,-1),(0,0,0),(0,0,-4))$
la matrice ha $Rg = 3$ quindi $dim Im T =3$
Per il teorema delle dimensioni so che $dim V = dim Ker T + dim Im T$ dove $V$ è l'insieme dominio.
Ma allora $dim Ker T = 3-3=0$
Questo mi dice che la $T$ è iniettiva.
Mi ricavo le equazioni cartesiane del $Ker T$
$\{(x-y+2z=0),(y-z=0),(-4z=0):}$
Il mio dubbio è questo: se la dimensione del $Ker T=0$ come faccio a trovarne una base?
Questo è il primo dubbio, quando ho un po di tempo scrivo gli altri
Sono alle prese con questo problema:
Sia $T:RR^3 rarr RR^4$ l'applicazione lineare definita da
$T(x,y,z) = (x-y+2z, x+z, y-z, 2x-y+3z)$
Determinare:
$a)$ una matrice associata a $T$ rispetto alle basi canoniche;
$b)$ equazioni cartesiane, una base e la dimensione del $Ker T$;
$c)$ equazioni parametriche di $Im T$, una base e la dimensione di $Im T$;
$d)$ se $T$ è iniettiva e/o suriettiva;
Allora, per il punto $a)$ devo fare
$T(e_1)=(1,1,0,2)$
$T(e_2)=(-1,0,1,-1)$
$T(e_3)=(2,1,-1,3)$
Matrice associata per colonne $((1,-1,2),(1,0,1),(0,1,-1),(2,-1,3))$
riduco ed ottengo $((1,-1,2),(0,1,-1),(0,0,0),(0,0,-4))$
la matrice ha $Rg = 3$ quindi $dim Im T =3$
Per il teorema delle dimensioni so che $dim V = dim Ker T + dim Im T$ dove $V$ è l'insieme dominio.
Ma allora $dim Ker T = 3-3=0$
Questo mi dice che la $T$ è iniettiva.
Mi ricavo le equazioni cartesiane del $Ker T$
$\{(x-y+2z=0),(y-z=0),(-4z=0):}$
Il mio dubbio è questo: se la dimensione del $Ker T=0$ come faccio a trovarne una base?
Questo è il primo dubbio, quando ho un po di tempo scrivo gli altri
Risposte
[size=150]Rg=2[/size]
Be' se fosse \(\mathrm{dim}\ \mathrm{Ker}\ T=0\), significherebbe che \(\mathrm{Ker}\ T=\{\mathbf{0}\}\), cioè il nucleo è il solo vettore nullo dello spazio, quindi non ci sarebbero molte basi da trovare...
D'altro canto, sei sicuro che davvero risulti \(\mathrm{dim}\ \mathrm{Ker}\ T=0\)?
D'altro canto, sei sicuro che davvero risulti \(\mathrm{dim}\ \mathrm{Ker}\ T=0\)?
"phaerrax":
Be' se fosse \(\mathrm{dim}\ \mathrm{Ker}\ T=0\), significherebbe che \(\mathrm{Ker}\ T=\{\mathbf{0}\}\), cioè il nucleo è il solo vettore nullo dello spazio, quindi non ci sarebbero molte basi da trovare...
D'altro canto, sei sicuro che davvero risulti \(\mathrm{dim}\ \mathrm{Ker}\ T=0\)?
Il teorema delle dimensioni dice che $dim V = dim Ker T + dim Im T$.
Nel mio caso $V$ è la dimensione dell'insieme di partenza, quindi $3$, $dim Im T$ ho ridotto la matrice è ho trovato che ha rango $3$, quindi $dim Ker T$ dovrebbe essere $0$
P.S. Buona Pasqua
"alfredo4":
[size=150]Rg=2[/size]
Rango di cosa?
Il rango della matrice. Hai sbagliato a ridurre. Fai di nuovo i calcoli.
Le tre colonne sono linearmente dipendenti: se sottrai la seconda alla prima trovi proprio la terza, quindi il rango non può essere 3.
Mi riferivo al rango della matrice associata all'applicazione. Quella per la quale tu hai scritto Rg=3.
In realtà, come puoi facilmente verificare, la terza colonna di tale matrice è la differenza tra la prima colonna e la seconda e questo fa scendere il rango a 2: Rg=2
In realtà, come puoi facilmente verificare, la terza colonna di tale matrice è la differenza tra la prima colonna e la seconda e questo fa scendere il rango a 2: Rg=2
riduco ed ottengo $((1,-1,2),(0,1,-1),(0,0,0),(0,0,0))$ 
Quindi $Rg=2$ , $dim ImT=2$, e per il teorema delle dimensioni $dim KerT=1$
Le equazioni cartesiane del $Ker T$
$\{(x_1-x_2+2x_3=0),(x_2-x_3=0):}$
La colonna senza pivots è quella di $x_3$ quindi pongo $x_3=t$ ed ottengo
$\{(x_1=-t),(x_2=t),(x_3=t):}$
Una base del $KerT = alpha*((-t),(t),(t))$
é giusto fin qua?
Per il quarto punto, devo trovare le equazioni parametriche di $Im T$ e una base.
Considero le colonne della matrice precedente che hanno i pivots, e mi compongo il sistema:
$((1,-1, x_1),(1,0,x_2),(0,1,x_3),(2,-1,x_4))$
Equazioni parametriche di $Im T = \{(x_1=alpha-beta),(x_2=alpha),(x_3=beta),(x_4=2alpha-beta):}$
Una base di $ImT = alpha((1),(1),(0),(2)), beta((-1),(0),(1),(-1))$
Considero le colonne della matrice precedente che hanno i pivots, e mi compongo il sistema:
$((1,-1, x_1),(1,0,x_2),(0,1,x_3),(2,-1,x_4))$
Equazioni parametriche di $Im T = \{(x_1=alpha-beta),(x_2=alpha),(x_3=beta),(x_4=2alpha-beta):}$
Una base di $ImT = alpha((1),(1),(0),(2)), beta((-1),(0),(1),(-1))$
Le basi dei due spazi sono quasi corrette, nel senso che i vettori sono giusti ma la base è un insieme di vettori, non ci vanno dei coefficienti \(\alpha\), \(\beta\) etc.
Quindi la base del nucleo è semplicemente
\[
\begin{pmatrix}
-1\\1\\1
\end{pmatrix}.
\]
Per la base dell'immagine, ti bastava anche solo prendere le colonne linearmente indipendenti della matrice (nota che sono uguali ai vettori trovati).
Quindi la base del nucleo è semplicemente
\[
\begin{pmatrix}
-1\\1\\1
\end{pmatrix}.
\]
Per la base dell'immagine, ti bastava anche solo prendere le colonne linearmente indipendenti della matrice (nota che sono uguali ai vettori trovati).
Hai ragione, mettendo i parametri ottengo tutte le basi possibili, quindi per trovare una base qualsiasi non ci vanno.
Grazie phaerrax! (e anche agli altri)
Grazie phaerrax! (e anche agli altri)
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