Dubbio in A5
Allora parlando con un collega mi ha detto che l'intersezione di 2 piani in A5 è un punto. Ora chi mi spiega il perchè ? Non riesco a immaginare uno spazio a 4 dimensioni pensate a 5 e ne tantomeno l'intersezioni di 2 piani in A5. Grazie anticipatamente dell'aiuto.
Risposte
$A_5$ è lo spazio affine di dimensione 5 (diciamo su $RR$)?
Se si non è mica detto che l'intersezione sia un punto. L'intersezione può essere vuota, o un punto, così come può essere una retta o il piano stesso (ovvero i due piani, in questo caso, sarebbero lo stesso piano).
Do per scontato che gli altri tre casi ti sono chiari e parliamo solo del caso intersezione = 1 punto.
Per fissare le idee ti conviene pensare alle dimensioni. In $A_5$ hai 5 dimensioni, e un piano ha dimensione 2.
Pensiamo ad $R^5$ invece di pensare ad $A^5$, ok? cioè lo spazio vettoriale associato (tanto per questa spiegazione il fatto che $A_5$ sia affine piuttosto che vettoriale non conta niente)
Prendiamo due piani, intesi come sottospazi vettoriali di dim. 2, quindi passano tutti e due dall'origine 0.
I due piani hanno dimensione 2, e poichè $RR^5$ ha 5 dimensioni i due piani possono tranquillamente occupare delle "dimensioni disgiunte" se capisci quello che voglio dire, nel senso che ognuno riempie 2 diverse dimensioni di $RR^5$ (e ti avanza pure una "dimensione") .
Quindi i due piani non hanno punti in comune se non l'origine del sistema.
E' lo stesso ragionamento che puoi fare, per esempio, con 2 rette in $RR^3$ (basta anche $RR^2$).. poichè le due rette se sono diverse "occupano" un totale di 2 dimensioni su 3, e quindi possono essere tali da avere un unico punto in comune.
Era il tipo di chiarimento che volevi?
Se si non è mica detto che l'intersezione sia un punto. L'intersezione può essere vuota, o un punto, così come può essere una retta o il piano stesso (ovvero i due piani, in questo caso, sarebbero lo stesso piano).
Do per scontato che gli altri tre casi ti sono chiari e parliamo solo del caso intersezione = 1 punto.
Per fissare le idee ti conviene pensare alle dimensioni. In $A_5$ hai 5 dimensioni, e un piano ha dimensione 2.
Pensiamo ad $R^5$ invece di pensare ad $A^5$, ok? cioè lo spazio vettoriale associato (tanto per questa spiegazione il fatto che $A_5$ sia affine piuttosto che vettoriale non conta niente)
Prendiamo due piani, intesi come sottospazi vettoriali di dim. 2, quindi passano tutti e due dall'origine 0.
I due piani hanno dimensione 2, e poichè $RR^5$ ha 5 dimensioni i due piani possono tranquillamente occupare delle "dimensioni disgiunte" se capisci quello che voglio dire, nel senso che ognuno riempie 2 diverse dimensioni di $RR^5$ (e ti avanza pure una "dimensione") .
Quindi i due piani non hanno punti in comune se non l'origine del sistema.
E' lo stesso ragionamento che puoi fare, per esempio, con 2 rette in $RR^3$ (basta anche $RR^2$).. poichè le due rette se sono diverse "occupano" un totale di 2 dimensioni su 3, e quindi possono essere tali da avere un unico punto in comune.
Era il tipo di chiarimento che volevi?
Allora vediamo se ho capito. Ho lo spazio vettoriale A5 o R5 tanto è la stessa cosa,che ha dimesione 5. Il piano ha dimensione 2. Quindi mettendoci in A5 e mettendoci il piano mi restano altre 3 "dimensioni", perchè 2 le ha occupate il piano. Ora ci metto un altro piano e in A5 mi resta una sola dimensione. Quindi se vedo i piani come 2 sottospazi vettoriali allora in A5 possono essere anche sghembi poichè risulterebbero linearmente indipendenti (se è una cavolata dimmelo).
E quindi, come mi hai detto, la loro intersezione può essere : il piano stesso se i 2 sottospazi/piani sono uguali, una retta se l'intersezione ha dimensione 1 e non capisco che dimensione deve avere l'intersezione per essere un punto. Se non sono stato chiaro dimmelo.
E quindi, come mi hai detto, la loro intersezione può essere : il piano stesso se i 2 sottospazi/piani sono uguali, una retta se l'intersezione ha dimensione 1 e non capisco che dimensione deve avere l'intersezione per essere un punto. Se non sono stato chiaro dimmelo.
E' tutto giusto, se l'intersezione è un punto la dimensione è 0.
Se invece l'intersezione è l'insieme vuoto su questo il concetto di dimensione non è definito, quindi non ha dimensione (il che è diverso da avere dimensione 0)
Se invece l'intersezione è l'insieme vuoto su questo il concetto di dimensione non è definito, quindi non ha dimensione (il che è diverso da avere dimensione 0)
Mi hai chiarito le idee. In pratica considero punto,retta e piano rispettivamente come sottospazi di zero(che come hai detto tu è diverso dall'insieme vuoto), una e due dimensioni che si vanno a mettere in A2(solo retta e punto), A3, A4 e così via. E quindi a secondo in quale spazio affine si vanno a mettere ci sono le varie combinazioni. Grazie mille 
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